Exercício 20. (a) Mostre que se f é diferenciável em p então f é contínua em p.
(b) Vale a volta (ou seja, recíproca) deste Teorema? (Isto é, se f é contínua então f é diferenciável?) Ou será que existe função contínua mas não diferenciável? Dê exemplo.

Passo 1

O enunciado é do conteúdo de cálculo diferencial: em (a) devemos mostrar que, se f é diferenciável em p, então ela é contínua em p; em (b) perguntar se a recíproca vale, isto é, se toda função contínua é diferenciável, ou se existe contraexemplo. Para (a) usaremos a definição de diferenciabilidade via limite do quociente incremental e a noção de resto “pequeno” comparado a h. Para (b) basta apresentar um exemplo clássico de função contínua mas não diferenciável num ponto.

Passo 2

Recordando a definição: dizemos que f é diferenciável em p se existe
f'(p)\;=\;\lim_{h\to0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}
finito. Isso equivale a escrever que, para h próximo de zero,
f(p+h)=f(p)+f'(p)\,h+R(h),
onde o resto R(h) satisfaz
\lim_{h\to0}\frac{R(h)}{h}=0.

Passo 3

Agora basta verificar a continuidade em p. Tomando o limite quando h\to0 na expressão
f(p+h)=f(p)+f'(p)\,h+R(h),
temos
\lim_{h\to0}f(p+h) =\;f(p)+f'(p)\cdot0+\lim_{h\to0}R(h) =\;f(p)+0+0 =\;f(p).
Logo \lim_{x\to p}f(x)=f(p), ou seja, f é contínua em p.

Passo 4

Quanto à recíproca, ela não vale em geral: existem funções contínuas que não são diferenciáveis. O contraexemplo clássico é
f(x)=\lvert x\rvert.
Esta função é contínua para todo x porque \lim_{x\to0}\lvert x\rvert=0=f(0) e não há saltos em nenhum ponto. Porém em x=0 os diferenciais laterais não coincidem:
\lim_{h\to0^+}\frac{\lvert h\rvert-0}{h}=1, \quad \lim_{h\to0^-}\frac{\lvert h\rvert-0}{h}=-1.
Como esses limites não são iguais, f não é diferenciável em 0.

Resposta

(a) Se f é diferenciável em p, então, pela expansão
f(p+h)=f(p)+f'(p)\,h+R(h),
com R(h)/h\to0, segue que \lim_{h\to0}f(p+h)=f(p), isto é, f é contínua em p.
(b) A recíproca não vale. Exemplo: f(x)=\lvert x\rvert é contínua em todo ponto, mas não é diferenciável em 0.

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