Exercício 20. (a) Mostre que se
é diferenciável em
então
é contínua em
.
(b) Vale a volta (ou seja, recíproca) deste Teorema? (Isto é, se
é contínua então
é diferenciável?) Ou será que existe função contínua mas não diferenciável? Dê exemplo.
(b) Vale a volta (ou seja, recíproca) deste Teorema? (Isto é, se
Passo 1
O enunciado é do conteúdo de cálculo diferencial: em (a) devemos mostrar que, se
é diferenciável em
, então ela é contínua em
; em (b) perguntar se a recíproca vale, isto é, se toda função contínua é diferenciável, ou se existe contraexemplo. Para (a) usaremos a definição de diferenciabilidade via limite do quociente incremental e a noção de resto “pequeno” comparado a
. Para (b) basta apresentar um exemplo clássico de função contínua mas não diferenciável num ponto.
Passo 2
Recordando a definição: dizemos que
é diferenciável em
se existe
finito. Isso equivale a escrever que, para
próximo de zero,
onde o resto
satisfaz
Passo 3
Agora basta verificar a continuidade em
. Tomando o limite quando
na expressão
temos
Logo
, ou seja,
é contínua em
.
Passo 4
Quanto à recíproca, ela não vale em geral: existem funções contínuas que não são diferenciáveis. O contraexemplo clássico é
Esta função é contínua para todo
porque
e não há saltos em nenhum ponto. Porém em
os diferenciais laterais não coincidem:
Como esses limites não são iguais,
não é diferenciável em
.
Resposta
(a) Se
é diferenciável em
, então, pela expansão
com
, segue que
, isto é,
é contínua em
.
(b) A recíproca não vale. Exemplo: é contínua em todo ponto, mas não é diferenciável em
.
(b) A recíproca não vale. Exemplo: