Exercício 14. Considere f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<1 \\\ x^{2}, & 1 \leq x \leq 9 \\\\ 27 \sqrt{x}, & x>9\end{array}\right..
a) Determine os pontos x \in \mathbb{R} onde f é diferenciável.
b) Onde existe f^{-1}, isto é, a função inversa de f ?
c) Determine os pontos onde f^{-1} é diferenciável e calcule \left(f^{-1}\right)^{\prime} nesses pontos.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} x, & x<1,\\\ x^{2}, & 1\le x\le9,\\\\ 27\sqrt{x}, & x>9, \end{cases}
e pede:
a) onde f é diferenciável;
b) onde existe f^{-1};
c) onde f^{-1} é diferenciável e seu derivado.
Vamos usar:
  • Diferenciabilidade de funções piecewise analisando derivadas laterais nos pontos de quebra;
  • Monotonicidade e continuidade para achar inversa;
  • Teorema da função inversa para a derivada de f^{-1}.

Passo 2

Para x<1, f(x)=x é diferenciável com f'(x)=1. Para 1<x<9, f(x)=x^2 é diferenciável com f'(x)=2x. Para x>9, f(x)=27\sqrt{x} é diferenciável com
f'(x)=27\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{27}{2\sqrt{x}}.
Faltam os pontos de transição x=1 e x=9.
Em x=1:
- derivada à esquerda é 1,
- derivada à direita é 2\cdot1=2.
Como não coincidem, f não é diferenciável em x=1.
Em x=9:
- derivada à esquerda é 2\cdot9=18,
- derivada à direita é \tfrac{27}{2\sqrt{9}}=\tfrac{27}{6}=4,5.
Também não coincidem, logo f não é diferenciável em x=9.

Passo 3

A função é contínua e em cada parte é estritamente crescente. Em x=1 e x=9 não há salto pois
\lim_{x\to1^-}f(x)=1,\quad f(1)=1^2=1,\qquad \lim_{x\to9^-}f(x)=81,\quad \lim_{x\to9^+}f(x)=27\sqrt{9}=81.
Como é estritamente crescente em todo \mathbb{R} e seu valor vai de -\infty a +\infty, f é bijetora \mathbb{R}\to\mathbb{R}. Portanto f^{-1} existe para todo y\in\mathbb{R}.

Passo 4

Pelo teorema da função inversa, f^{-1} é diferenciável em y=f(x) sempre que f'(x)\neq0. Vimos que f'(x)>0 para todo x\neq1,9, e f' não existe em 1 e 9. Logo f^{-1} não é diferenciável nos pontos y=f(1)=1 e y=f(9)=81, mas é diferenciável em \mathbb{R}\setminus\{1,81\}.
Para y<1, o ramo inverso é f^{-1}(y)=y, logo
\bigl(f^{-1}\bigr)'(y)=1.
Para 1<y<81, invertemos y=x^2 com x\ge1, obtendo f^{-1}(y)=\sqrt{y}. Assim
\bigl(f^{-1}\bigr)'(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}.
Para y>81, invertemos y=27\sqrt{x}, ficando \sqrt{x}=y/27 e
f^{-1}(y)=\Bigl(\frac{y}{27}\Bigr)^{2}=\frac{y^{2}}{27^{2}},
de onde
\bigl(f^{-1}\bigr)'(y) =\frac{2y}{27^{2}}=\frac{2y}{729}.

Resposta

a) f é diferenciável em
(-\infty,1)\;\cup\;(1,9)\;\cup\;(9,\infty).
b) f^{-1} existe para todo y\in\mathbb{R}.
c) f^{-1} é diferenciável em \mathbb{R}\setminus\{1,81\} e
\bigl(f^{-1}\bigr)'(y)= \begin{cases} 1, & y<1,\\\ \dfrac{1}{2\sqrt{y}}, & 1<y<81,\\\ \dfrac{2y}{729}, & y>81. \end{cases}

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