Exercício 23. Seja f(x)=x^{1 / 3}.
(a) f é contínua em 0?
(b) Calcule f^{\prime}(x).
(c) Existe f^{\prime}(0) ? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função f(x)=x^{1/3}. Vamos verificar (a) a continuidade em 0, (b) a derivada em pontos x\neq0 usando a regra da potência, e (c) a existência de f'(0) pela definição de derivada em 0.

Passo 2

Para mostrar que f é contínua em 0, usamos a definição: f é contínua em 0 se
\lim_{x\to0}f(x)=f(0).
Como f(0)=0^{1/3}=0 e
\lim_{x\to0}x^{1/3}=0,
segue que \lim_{x\to0}f(x)=0=f(0). Logo, f é contínua em 0.

Passo 3

Para x\neq0, aplicamos a regra da potência: se f(x)=x^{m} então f'(x)=m\,x^{m-1}. Aqui m=\tfrac13, portanto
f'(x)=\frac13\,x^{\frac13-1} =\frac13\,x^{-\tfrac23} =\frac{1}{3\,x^{2/3}}.

Passo 4

Para x=0, usamos a definição
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h^{1/3}-0}{h} =\lim_{h\to0}h^{-2/3}.
Como h^{-2/3}\to+\infty quando h\to0 (tanto por h>0 quanto por h<0), esse limite não é um número finito. Logo, f'(0) não existe.

Resposta

(a) Sim, f é contínua em 0.
(b) Para x\neq0, f'(x)=\displaystyle\frac{1}{3\,x^{2/3}}.
(c) Não existe f'(0), pois o limite do quociente de diferenças diverge para +\infty.

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