Exercício 20. Quinze pessoas portadoras de determinada doença são selecionadas para se submeter a um tratamento. Sabe-se que este tratamento é eficaz na cura da doença em 80 % dos casos. Suponha que os indivíduos submetidos ao tratamento curam-se (ou não) independentemente uns dos outros e considere X o número de curados dentre os 15 pacientes submetidos ao tratamento.
(a) Qual a distribuição de X ?.
(b) Qual a probabilidade de que os 15 pacientes sejam curados?
© Qual a probabilidade de que pelo menos dois não sejam curados?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem 15 pessoas que vão receber um tratamento, e cada uma tem 80% de chance de se curar, tudo independente. A variável aleatória X é o número de curados entre essas 15 pessoas. O conteúdo é Distribuição Binomial: a gente vai precisar da fórmula da probabilidade binomial e de somar ou complementar eventos pra achar as respostas.

Passo 2

(a) Qual a distribuição de X?
Quando você tem um certo número n de tentativas independentes, cada uma com probabilidade p de “sucesso” (aqui, cura), dizemos que X segue uma distribuição Binomial de parâmetros n e p, escrita
X sim Bin(n,p)
Aqui, n=15 e p=0.8, então
boxedX sim Bin(15,0.8)
A teoria diz que a função massa de probabilidade é
P(X=k)=binom15k(0.8)^k(0.2)^15-k

Passo 3

(b) Qual a probabilidade de que os 15 pacientes sejam curados?
Isso é P(X=15). Usando a fórmula da Binomial:
P(X=15)=binom1515(0.8)^15(0.2)^0=(0.8)^15
Como binom1515=1 e (0.2)^0=1, fica
boxedP(X=15)=(0.8)^15

Passo 4

© Qual a probabilidade de que pelo menos dois não sejam curados?
“Pelo menos dois não curados” é o mesmo que “número de falhas >=2”. Se a probabilidade de falhar é q=1-p=0.2, então queremos
P(failures>=2)=1-P(failures=0)-P(failures=1)
Mas “failures” é 15-X. Então:
- P(failures=0)=P(X=15)=(0.8)^15.
- P(failures=1)=P(X=14)=binom1514(0.8)^14(0.2)^1=15,(0.8)^14(0.2)
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P(failures>=2)=1-l[(0.8)^15+15,(0.8)^14(0.2)r]
Esse é o resultado final para “pelo menos duas falhas”.

Resposta

(a) XsimBin(15,0.8).
(b) P(X=15)=(0.8)^15.
© P(pelo menos 2 não curados)=1-l[(0.8)^15+15,(0.8)^14(0.2)r],ã.

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