Exercício 18. Seja X uma variávela aleatória discreta com função de probabilidade dada por
p(x)=c x, x=1,2,3,4,5,6
Encontre:
(a) o valor de c.
(b) a probabilidade de X ser um número ímpar.
© Calcule E(X) e Var(X).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma v.a. discreta p(x)=c,x, x=1,2,3,4,5,6 com
E a gente precisa descobrir três coisas:
(a) o valor de (pra “normalizar” a distribuição),
(b) a probabilidade de ser ímpar,
© o valor esperado e a variância .
O conteúdo aqui é distribuição de probabilidade discreta, cálculo de soma de séries pra normalizar, fórmula de valor esperado

e de variância
.

Passo 2

Normalização (encontrar sumx=1^6 p(x)=sumx=1^6 c,x = csumx=1^6 x = 1 ):
A soma de todas as probabilidades tem de ser 1:
ccdot 21 = 1 Longrightarrow c = 121
A soma dos inteiros de 1 a 6 é
.
Então

Passo 3

Probabilidade de P(X ímpar) = p(1)+p(3)+p(5) = c,(1+3+5) = 121cdot 9 = 921 = 37 ser ímpar:
Os valores ímpares entre 1 e 6 são . Logo
í

Passo 4

Cálculo de E(X)=121cdot 91 = 9121 = 133approx 4,33 e E(X^2)=sumx=1^6 x^2,p(x) =sumx=1^6 x^2,(c,x) =csumx=1^6 x^3 :
  1. E(X^2)=121cdot 441 = 21
    A soma dos quadrados de 1 a 6 é
    Var(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 = 21 - l(tfrac133r)^2 = 21 - tfrac1699 = tfrac189-1699 = tfrac209approx 2,22
    Então
  2. Para a variância, primeiro calculamos A soma dos cubos de 1 a 6 vale .
    Então Por fim,

Resposta

(a) .
(b) í.
© , .

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