Exercício 22. Em uma pizzaria com entrega em domicílio,
dos pedidos por telefone são de mais de uma pizza. Certo dia, o dono decide mandar um brinde ao cliente que fizer o primeiro pedido com mais de uma pizza. Seja
o número de pedidos recebidos até o ganhador do brinde
(a) Qual a distribuição de
?.
(b) Determine o menor número de pedidos necessários para garantir que o brinde saia com probabilidade maior que 0,9 .
(a) Qual a distribuição de
(b) Determine o menor número de pedidos necessários para garantir que o brinde saia com probabilidade maior que 0,9 .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: numa pizzaria, cada pedido por telefone tem 30 % de chance de ser para mais de uma pizza. O dono vai dar um brinde ao primeiro cliente que pedir mais de uma pizza. A variável aleatória
conta quantos pedidos chegam até esse “primeiro sucesso”.
Conteúdo: distribuição geométrica (variável que conta o número de ensaios até o primeiro sucesso) e cálculo de probabilidade acumulada para achar o menor número de pedidos que garanta probabilidade acima de 0,9.
Conteúdo: distribuição geométrica (variável que conta o número de ensaios até o primeiro sucesso) e cálculo de probabilidade acumulada para achar o menor número de pedidos que garanta probabilidade acima de 0,9.
Passo 2
Primeiro, qual é a distribuição de
?
- Cada pedido é um ensaio de Bernoulli: “sucesso” = pedido com mais de uma pizza, com probabilidade
. - A variável que conta quantos ensaios até o primeiro sucesso (incluindo o sucesso) é a distribuição geométrica com parâmetro
.
Logo:
Isso significa que
Passo 3
Agora (b): queremos o menor
tal que a chance de o brinde já ter saído até o pedido
seja maior que 0,9.
A probabilidade de já ter sucesso em até pedidos é
A probabilidade de já ter sucesso em até
Mas
Então exigimos
Para achar
, usamos logaritmo:
Calculando (aproximadamente):
Como
precisa ser inteiro e queremos garantir
, escolhemos
.
Resposta
(a)
.
(b) É preciso receber pelo menos 7 pedidos para que a probabilidade do brinde já ter saído seja maior que 0,9.
(b) É preciso receber pelo menos 7 pedidos para que a probabilidade do brinde já ter saído seja maior que 0,9.