Exercício 22. Em uma pizzaria com entrega em domicílio, 30 % dos pedidos por telefone são de mais de uma pizza. Certo dia, o dono decide mandar um brinde ao cliente que fizer o primeiro pedido com mais de uma pizza. Seja X o número de pedidos recebidos até o ganhador do brinde
(a) Qual a distribuição de X ?.
(b) Determine o menor número de pedidos necessários para garantir que o brinde saia com probabilidade maior que 0,9 .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: numa pizzaria, cada pedido por telefone tem 30 % de chance de ser para mais de uma pizza. O dono vai dar um brinde ao primeiro cliente que pedir mais de uma pizza. A variável aleatória conta quantos pedidos chegam até esse “primeiro sucesso”.
Conteúdo: distribuição geométrica (variável que conta o número de ensaios até o primeiro sucesso) e cálculo de probabilidade acumulada para achar o menor número de pedidos que garanta probabilidade acima de 0,9.

Passo 2

Primeiro, qual é a distribuição de X sim Geom(p=0,3) ?
  • Cada pedido é um ensaio de Bernoulli: “sucesso” = pedido com mais de uma pizza, com probabilidade P(X=k) = (1-p)^,k-1,p = (0,7)^,k-1,0,3, k=1,2,3,dots .
  • A variável que conta quantos ensaios até o primeiro sucesso (incluindo o sucesso) é a distribuição geométrica com parâmetro .
    Logo:
Isso significa que

Passo 3

Agora (b): queremos o menor P(X<= n)=1 - P(X>n) tal que a chance de o brinde já ter saído até o pedido P(X>n)=(1-p)^n=(0,7)^n seja maior que 0,9.
A probabilidade de já ter sucesso em até 1-(0.7)^n > 0.9 Long<=ftrightarrow (0.7)^n < 0.1 pedidos é
nln(0.7) < ln(0.1) Long<=ftrightarrow n > ln(0.1)ln(0.7)
Mas
ln(0.1)approx -2,3026, ln(0.7)approx -0,3567 Longrightarrow n > -2,3026-0,3567approx 6,45
Então exigimos
Para achar , usamos logaritmo:
Calculando (aproximadamente):
Como precisa ser inteiro e queremos garantir , escolhemos .

Resposta

(a) .
(b) É preciso receber pelo menos 7 pedidos para que a probabilidade do brinde já ter saído seja maior que 0,9.

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