Exercício 4.8.21. Seja F: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear tal que
F\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(3 x_{1}-2 x_{3}+x_{4}, 4 x_{1}-2 x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}, x_{1}+2 x_{3}+2 x_{4}\right)
a) Determinar \operatorname{Ker} F e \operatorname{Im} F, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases.
b) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{B}_{4}, \mathcal{Y}} de F com respeito à base canônica \mathcal{B}_{4} e a base \mathcal{Y}=\{(1,0,1),(1,0,0),(1,1,1)\}.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação linear
F\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3,\quad F(x_1,x_2,x_3,x_4)=\bigl(3x_1-2x_3+x_4,\;4x_1-2x_2+2x_3+3x_4,\;x_1+2x_3+2x_4\bigr).
Precisamos (a) achar \ker F e \operatorname{Im}F, suas dimensões e bases; (b) escrever a matriz de F da base canônica de \mathbb{R}^4 para a base \mathcal{Y}=\{(1,0,1),(1,0,0),(1,1,1)\}\subset\mathbb{R}^3.

Passo 2

Vamos montar a matriz A de F na base canônica: cada coluna é F(e_j). Logo
A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & -2 & 1\\\\ 4 & -2 & 2 & 3\\\\ 1 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para \ker F\) resolvemos \(A\,x=0\). Chamando \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\), o sistema é \[\begin{cases} 3x_1-2x_3+x_4=0,\\\\ 4x_1-2x_2+2x_3+3x_4=0,\\\ x_1+2x_3+2x_4=0. \end{cases}
Da terceira equação vem x_1=-2x_3-2x_4\]. Substituindo nas outras e parametrizando \((x_3,x_4)=t(5,-8) obtém-se
x=t\,(6,5,5,-8).
Assim \dim\ker F=1 e uma base é \{(6,5,5,-8)\}.

Passo 4

Para \operatorname{Im}F observamos as colunas de A:
v_1=(3,4,1),\; v_2=(0,-2,0),\; v_3=(-2,2,2),\; v_4=(1,3,2).
Verifica-se que v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e v_4 é combinação delas. Logo \dim\operatorname{Im}F=3 e uma base é \{v_1,v_2,v_3\}.

Passo 5

Para a matriz M_{F}^{\mathcal{B}_4,\mathcal{Y}}, escrevemos cada F(e_j)=v_j em coordenadas da base \mathcal{Y}=\{y_1,y_2,y_3\} com y_1=(1,0,1), y_2=(1,0,0), y_3=(1,1,1).
Procuramos (c_1,c_2,c_3) tais que
c_1y_1+c_2y_2+c_3y_3 =(c_1+c_2+c_3,\;c_3,\;c_1+c_3)=v_j.
Fazendo isso para j=1,2,3,4 obtemos colunas
F(e_1)\mapsto(-3,2,4),\; F(e_2)\mapsto(2,0,-2),\; F(e_3)\mapsto(-4,0,2),\; F(e_4)\mapsto(-1,-1,3).

Resposta

(a) \ker F=\{t(6,5,5,-8)\mid t\in\mathbb{R}\}, \dim\ker F=1, base \{(6,5,5,-8)\}. \operatorname{Im}F=\operatorname{span}\{(3,4,1),\,(0,-2,0),\,(-2,2,2)\}, \dim\operatorname{Im}F=3.
(b)
M_{F}^{\mathcal{B}_4,\mathcal{Y}} =\begin{pmatrix} -3 & 2 & -4 & -1\\\\ 2 & 0 & 0 & -1\\\\ 4 & -2 & 2 & 3 \end{pmatrix}.

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