a) Determinar \operatorname{Ker} F e \operatorname{Im} F, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases.
b) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{B}_{4}, \mathcal{Y}} de F com respeito à base canônica \mathcal{B}_{4} e a base \mathcal{Y}=\{(1,0,1),(1,0,0),(1,1,1)\}.
Precisamos (a) achar \ker F e \operatorname{Im}F, suas dimensões e bases; (b) escrever a matriz de F da base canônica de \mathbb{R}^4 para a base \mathcal{Y}=\{(1,0,1),(1,0,0),(1,1,1)\}\subset\mathbb{R}^3.
Passo 2
Vamos montar a matriz A de F na base canônica: cada coluna é F(e_j). Logo
Para \ker F\) resolvemos \(A\,x=0\). Chamando \(x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\), o sistema é
\[\begin{cases} 3x_1-2x_3+x_4=0,\\\\ 4x_1-2x_2+2x_3+3x_4=0,\\\ x_1+2x_3+2x_4=0. \end{cases}
Da terceira equação vem x_1=-2x_3-2x_4\]. Substituindo nas outras e parametrizando \((x_3,x_4)=t(5,-8) obtém-se
x=t\,(6,5,5,-8).
Assim \dim\ker F=1 e uma base é \{(6,5,5,-8)\}.
Passo 4
Para \operatorname{Im}F observamos as colunas de A:
Verifica-se que v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e v_4 é combinação delas. Logo \dim\operatorname{Im}F=3 e uma base é \{v_1,v_2,v_3\}.
Passo 5
Para a matriz M_{F}^{\mathcal{B}_4,\mathcal{Y}}, escrevemos cada F(e_j)=v_j em coordenadas da base \mathcal{Y}=\{y_1,y_2,y_3\} com y_1=(1,0,1), y_2=(1,0,0), y_3=(1,1,1).
Procuramos (c_1,c_2,c_3) tais que