Exercício 20. Seja X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} uma amostra aleatória tal que X_{i} \mid \theta \sim \operatorname{Uniforme}(0, \theta), i=1,2, \ldots, n.
(a) Mostre que a família conjugada a essa Uniforme corresponde à família de distribuições Pareto, com parâmetros a e b, e densidade
p(\theta)=\frac{a b^{a}}{\theta^{1+a}} \mathbb{1}_{(b,+\infty)}(\theta), \quad a, b>0 ;
(b) Determine a moda, média e mediana da distribuição a posteriori de \theta.
Passo 1
O enunciado diz que X_{1},X_{2},\dots,X_{n} são i.i.d. Uniforme(0,\theta). Queremos mostrar em (a) que, se adotamos como priori para \theta a família Pareto de parâmetros a,b>0, com densidade
então a posteriori \theta\mid X também é Pareto (conjugação). Em (b) vamos extrair dessa posterior sua moda, média e mediana. Para isso precisamos usar a verossimilhança de \theta e aplicar o Teorema de Bayes, reconhecendo em seguida o kernel de Pareto.
Passo 2
A função verossimilhança de \theta dado X_{1}=x_{1},\dots,X_{n}=x_{n} é