Exercício 21. Considere o modelo conjugado Poisson-Gama, com
. Obtenha a distribuição preditiva usando
(a) procedimentos de integração usual;
(b) procedimentos baseados na família exponencial;
(c) calcule a média e variância dessa distribuição;
(a) procedimentos de integração usual;
(b) procedimentos baseados na família exponencial;
(c) calcule a média e variância dessa distribuição;
Passo 1
O enunciado considera o modelo hierárquico
e diz “com
”, isto é, queremos a distribuição preditiva de um único
integrando
. Vamos obter essa distribuição por dois métodos e depois calcular sua média e variância.
Passo 2
Procedimento de integração usual. Para
,
Reunindo potências de
e exponenciais,
Logo
que é uma distribuição binomial negativa com parâmetros
e “probabilidade de fracasso”
.
Passo 3
Procedimento pela família exponencial.
- Reconhecemos que a Poisson em forma canônica é
- A prior conjugada em
tem função de partição
- A preditiva é dada pela razão
Falta incluir o fator de normalização
, que surge de expandir o termo
na integral de
. No fim obtemos o mesmo resultado do passo anterior:
Passo 4
Cálculo da média e variância da preditiva. Usamos as leis do total:
Resposta
A distribuição preditiva de
é, para
,
Sua média é
e sua variância é