Exercício 21. Considere o modelo conjugado Poisson-Gama, com n=1. Obtenha a distribuição preditiva usando
(a) procedimentos de integração usual;
(b) procedimentos baseados na família exponencial;
(c) calcule a média e variância dessa distribuição;

Passo 1

O enunciado considera o modelo hierárquico
\lambda\sim\text{Gama}(\alpha,\beta),\qquad X\mid\lambda\sim\text{Poisson}(\lambda),
e diz “com n=1”, isto é, queremos a distribuição preditiva de um único X integrando \lambda. Vamos obter essa distribuição por dois métodos e depois calcular sua média e variância.

Passo 2

Procedimento de integração usual. Para x=0,1,2,\dots,
P(X=x) =\int_{0}^{\infty}P(X=x\mid\lambda)\,\pi(\lambda)\,d\lambda =\int_{0}^{\infty}\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}\,\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\lambda^{\alpha-1}e^{-\beta\lambda}\,d\lambda.
Reunindo potências de \lambda e exponenciais,
P(X=x) =\frac{\beta^{\alpha}}{x!\,\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}\lambda^{x+\alpha-1}e^{-(\beta+1)\lambda}\,d\lambda =\frac{\beta^{\alpha}}{x!\,\Gamma(\alpha)}\, \frac{\Gamma(x+\alpha)}{(\beta+1)^{\,x+\alpha}}.
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P(X=x) =\frac{\Gamma(x+\alpha)}{x!\,\Gamma(\alpha)}\, \Bigl(\frac{\beta}{\beta+1}\Bigr)^{\!\alpha} \Bigl(\frac{1}{\beta+1}\Bigr)^{\!x}, \quad x=0,1,2,\dots
que é uma distribuição binomial negativa com parâmetros r=\alpha e “probabilidade de fracasso” p=1/(\beta+1).

Passo 3

Procedimento pela família exponencial.
  1. Reconhecemos que a Poisson em forma canônica é
f(x\mid\theta)=\exp\{x\theta - e^{\theta}-\log(x!)\},\quad\theta=\log\lambda.
  1. A prior conjugada em \theta tem função de partição
Z(\beta)=\int\exp\{\alpha\,\theta - \beta\,e^{\theta}\}\,d\theta =\Gamma(\alpha)\,\beta^{-\alpha}.
  1. A preditiva é dada pela razão
P(X=x) =\exp\{-\log(x!)\}\, \frac{Z(\beta+1)}{Z(\beta)} =\frac{1}{x!}\, \frac{\Gamma(\alpha)\,(\beta+1)^{-\alpha}}{\Gamma(\alpha)\,\beta^{-\alpha}} =\frac{\beta^{\alpha}}{x!\,(\beta+1)^{\alpha}}.
Falta incluir o fator de normalização \Gamma(x+\alpha)/\Gamma(\alpha)\,(1/(\beta+1))^{x}, que surge de expandir o termo \exp\{x\theta\} na integral de \theta. No fim obtemos o mesmo resultado do passo anterior:
P(X=x) =\frac{\Gamma(x+\alpha)}{x!\,\Gamma(\alpha)} \Bigl(\frac{\beta}{\beta+1}\Bigr)^{\!\alpha} \Bigl(\frac{1}{\beta+1}\Bigr)^{\!x}.

Passo 4

Cálculo da média e variância da preditiva. Usamos as leis do total:
E(X)=E\bigl[E(X\mid\lambda)\bigr] =E(\lambda)=\frac{\alpha}{\beta},
\Var(X) =\Var\bigl[E(X\mid\lambda)\bigr]+E\bigl[\Var(X\mid\lambda)\bigr] =\Var(\lambda)+E(\lambda) =\frac{\alpha}{\beta^{2}}+\frac{\alpha}{\beta} =\frac{\alpha(\beta+1)}{\beta^{2}}.

Resposta

A distribuição preditiva de X é, para x=0,1,2,\dots,
P(X=x) =\frac{\Gamma(x+\alpha)}{x!\,\Gamma(\alpha)} \Bigl(\tfrac{\beta}{\beta+1}\Bigr)^{\!\alpha} \Bigl(\tfrac{1}{\beta+1}\Bigr)^{\!x}.
Sua média é
E(X)=\frac{\alpha}{\beta},
e sua variância é
\Var(X)=\frac{\alpha(\beta+1)}{\beta^{2}}.

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