Exercício 20 O tempo até a falha, em horas, de um componente eletrônico é uma variável aleatória X com função de densidade
f(x)= 12000 e^-x / 2000, & x >= 0 0, & x<0
(a) Determine a probabilidade de que o tempo até a falha deste componente seja maior do que 1.000 horas;
(b) Sabendo que o componente está em funcionamento por 1.000 horas, qual é a probabilidade do tempo total de funcionamento exceder 2.000 horas?
(c) Compare os valores obtidos nos itens (a) e (b) e interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado diz que X é o tempo até a falha de um componente e tem densidade
f(x)=12000e^-x/2000, x>=0,
ou seja, X segue uma distribuição exponencial com parâmetro lambda = 1/2000. Para resolver as partes (a) e (b) precisamos usar a função sobrevivência
P(X>t)=integralt^infty12000e^-x/2000,dx
e a definição de probabilidade condicional
P(X>2,000mid X>1,000)=P(X>2,000;wed>=;X>1,000)P(X>1,000)

Passo 2

Calcular P(X>1,000) usando a sobrevivência:
P(X>1,000) =integral1,000^infty12000e^-x/2000,dx
Fazendo a mudança de variável u=x/2000, temos
P(X>1,000) =l[-e^-x/2000r]x=1,000^x=infty =e^-1,000/2000

Passo 3

Simplificando o expoente,
P(X>1,000)=e^-1/2=e^-0,5approx0,6065

Passo 4

Para a parte (b) usamos
P(X>2,000mid X>1,000) =P(X>2,000)P(X>1,000)
Já sabemos P(X>t)=e^-t/2000, logo
P(X>2,000)=e^-2,000/2000=e^-1

Passo 5

Substituindo na condicional:
P(X>2,000mid X>1,000) =e^-1e^-0,5 =e^-1+0,5 =e^-0,5 approx0,6065

Passo 6

Os valores de (a) e (b) coincidem. Isso ocorre porque a distribuição exponencial é sem memória: a probabilidade de sobreviver mais 1 000 h é sempre e^-0,5, independentemente do tempo já decorrido.

Resposta

(a) P(X>1,000)=e^-0,5approx0,6065
(b) P(X>2,000mid X>1,000)=e^-0,5approx0,6065
(c) Os dois valores são iguais devido à propriedade de sem-memória da distribuição exponencial; o tempo adicional de vida não depende do tempo já decorrido.

Exercícios relacionados