Exercício 20 O tempo até a falha, em horas, de um componente eletrônico é uma variável aleatória X com função de densidade
(a) Determine a probabilidade de que o tempo até a falha deste componente seja maior do que 1.000 horas;
(b) Sabendo que o componente está em funcionamento por 1.000 horas, qual é a probabilidade do tempo total de funcionamento exceder 2.000 horas?
(c) Compare os valores obtidos nos itens (a) e (b) e interprete o resultado.
Passo 1
O enunciado diz que X é o tempo até a falha de um componente e tem densidade
f(x)=12000e^-x/2000, x>=0,
ou seja, X segue uma distribuição exponencial com parâmetro lambda = 1/2000. Para resolver as partes (a) e (b) precisamos usar a função sobrevivência
Os valores de (a) e (b) coincidem. Isso ocorre porque a distribuição exponencial é sem memória: a probabilidade de sobreviver mais 1 000 h é sempre e^-0,5, independentemente do tempo já decorrido.
Resposta
(a) P(X>1,000)=e^-0,5approx0,6065
(b) P(X>2,000mid X>1,000)=e^-0,5approx0,6065
(c) Os dois valores são iguais devido à propriedade de sem-memória da distribuição exponencial; o tempo adicional de vida não depende do tempo já decorrido.