Exercício 1 (2017/I):

Um vetor deslocamento \vec{A} possui módulo igual a 8 metros e faz um ângulo de 37^{\circ} acima do eixo x positivo; o vetor deslocamento \vec{B}=3 \hat{i}-5 \hat{j} (metro) e o vetor \vec{C}=-6 \hat{i}+3 \hat{j} (metro). Determine abaixo os vetores deslocamentos \vec{A}, \vec{D} e \vec{E}, em termos dos vetores unitários \hat{i} e \hat{j} e o módulo do vetor \vec{E}.
a) \mathbf{( 7} pontos) \vec{A} b) (6 pontos) \vec{D}=\vec{A}+\vec{C}
c) (6 pontos) \vec{E}=\vec{B}-\vec{A} d) (6 pontos) |\vec{E}|

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • O vetor deslocamento \vec{A} tem módulo \,8\\ \text{m}\, e faz um ângulo de \,37^\circ\, acima do eixo x positivo.
    • O vetor \vec{B} é \vec{B}=3\hat{i}-5\hat{j} (metro).
    • O vetor \vec{C} é \vec{C}=-6\hat{i}+3\hat{j} (metro).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Expressar \vec{A} em termos de \hat{i} e \hat{j}.
    • (b) Calcular \vec{D}=\vec{A}+\vec{C} e expressar em \hat{i},\hat{j}.
    • (c) Calcular \vec{E}=\vec{B}-\vec{A} e expressar em \hat{i},\hat{j}.
    • (d) Determinar o módulo |\vec{E}|.

Passo 2

Entender como decompor um vetor dado por módulo e ângulo em componentes cartesianas (aula rápida e prática).
  • Ideia: um vetor no plano com módulo \,R\, e ângulo \theta acima do eixo x pode ser escrito como
\vec{R} = R\cos\theta\,\hat{i} + R\sin\theta\,\hat{j}.
  • Aqui:
    • R é o módulo do vetor (um número positivo, em metros).
    • \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário.
    • \cos\theta e \sin\theta são as razões trigonométricas que dão as frações do módulo nas direções x e y.
  • Exemplificando de modo concreto: se R=8 e \theta=37^\circ, então
A_x = 8\cos 37^\circ,\qquad A_y = 8\sin 37^\circ,
e \vec{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}.

Passo 3

Escolher valores numéricos para \cos 37^\circ e \sin 37^\circ e calcular as componentes de \vec{A}.
  • Observação prática e comum em exames: o ângulo de 37^\circ costuma ser aproximado por 36{,}87^\circ do triângulo 3\!:\!4\!:\!5, o que dá
\cos 37^\circ\approx \frac{4}{5}=0,8,\qquad \sin 37^\circ\approx \frac{3}{5}=0,6.
Essa aproximação deixa as contas bem simples e é aceita em muitos exercícios sem calculadora. (Se for necessário muito mais precisão, usar uma calculadora trigonométrica.)
  • Usando essa aproximação:
A_x = 8\cdot 0,8 = 6,4, \qquad A_y = 8\cdot 0,6 = 4,8.

Passo 4

Escrever o vetor \vec{A} em função de \hat{i} e \hat{j} (resposta do item a).
  • Substituindo as componentes:
\vec{A} = 6,4\,\hat{i} + 4,8\,\hat{j}\qquad\text{(metros)}.

Passo 5

Relembrar como somar vetores em componentes (pequena explicação didática).
  • Regra: para \vec{U}=U_x\hat{i}+U_y\hat{j} e \vec{V}=V_x\hat{i}+V_y\hat{j},
\vec{U}+\vec{V}=(U_x+V_x)\hat{i}+(U_y+V_y)\hat{j}.
  • Ou seja, soma-se componente x com componente x, e componente y com componente y.

Passo 6

Calcular \vec{D}=\vec{A}+\vec{C} usando componentes (resposta do item b).
  • Peguei \vec{A}=6,4\hat{i}+4,8\hat{j} (do passo 4) e \vec{C}=-6\hat{i}+3\hat{j} (dado).
  • Somando componente a componente:
D_x = 6,4 + (-6) = 0,4, \qquad D_y = 4,8 + 3 = 7,8.
  • Logo
\vec{D} = 0,4\,\hat{i} + 7,8\,\hat{j}\qquad\text{(metros)}.

Passo 7

Relembrar como subtrair vetores em componentes (mini-aula).
  • Regra: para \vec{U} e \vec{V} como antes,
\vec{U}-\vec{V}=(U_x-V_x)\hat{i}+(U_y-V_y)\hat{j}.
  • Subtração é só somar com o negativo: \vec{U}-\vec{V}=\vec{U}+(-\vec{V}).

Passo 8

Calcular \vec{E}=\vec{B}-\vec{A} usando componentes (resposta do item c).
  • Peguei \vec{B}=3\hat{i}-5\hat{j} (dado) e \vec{A}=6,4\hat{i}+4,8\hat{j} (do passo 4).
  • Subtraindo componente a componente:
E_x = 3 - 6,4 = -3,4, \qquad E_y = -5 - 4,8 = -9,8.
  • Logo
\vec{E} = -3,4\,\hat{i} - 9,8\,\hat{j}\qquad\text{(metros)}.

Passo 9

Calcular o módulo de \vec{E} (resposta do item d) e explicar a fórmula.
  • Fórmula do módulo (teorema de Pitágoras): para \vec{V}=V_x\hat{i}+V_y\hat{j},
|\vec{V}|=\sqrt{V_x^{2}+V_y^{2}}.
  • Para \vec{E} temos E_x=-3,4 e E_y=-9,8. Calculando:
(-3,4)^{2}=11,56,\qquad (-9,8)^{2}=96,04.
(-3,4)^{2}+(-9,8)^{2}=11,56+96,04=107,60.
|\vec{E}|=\sqrt{107,60}\approx 10,37\\ \text{m}.
  • Observação: o sinal das componentes não importa para o módulo (porque são elevadas ao quadrado).

Passo 10

Resumo rápido e incentivo: chegamos passo a passo às componentes e ao comprimento; essas operações (decompor com seno e cosseno, somar/subtrair componentes e usar Pitágoras) são as ferramentas essenciais para provas. Você mandou bem chegando até aqui — revise os passos e resolva mais exercícios parecidos para fixar.

Resposta

\vec{A}=6,4\,\hat{i}+4,8\,\hat{j}\newline
\vec{D}=0,4\,\hat{i}+7,8\,\hat{j}\newline
\vec{E}=-3,4\,\hat{i}-9,8\,\hat{j}\newline
|\vec{E}|\approx 10,37\\ \text{m}

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