Exercício 1 (2017/I):
Um vetor deslocamento
possui módulo igual a 8 metros e faz um ângulo de
acima do eixo
positivo; o vetor deslocamento
(metro) e o vetor
(metro). Determine abaixo os vetores deslocamentos
e
, em termos dos vetores unitários
e
e o módulo do vetor
.
a)
pontos)
b) (6 pontos)
c) (6 pontos)
d) (6 pontos)
| a)
|
b) (6 pontos)
|
| c) (6 pontos)
|
d) (6 pontos)
|
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
-
Dados fornecidos:
- O vetor deslocamento
tem módulo e faz um ângulo de acima do eixo positivo. - O vetor
é (metro). - O vetor
é (metro).
- O vetor deslocamento
-
O que o enunciado pede:
- (a) Expressar
em termos de e . - (b) Calcular
e expressar em . - (c) Calcular
e expressar em . - (d) Determinar o módulo
.
- (a) Expressar
Passo 2
Entender como decompor um vetor dado por módulo e ângulo em componentes cartesianas (aula rápida e prática).
- Ideia: um vetor no plano com módulo
e ângulo acima do eixo pode ser escrito como
- Aqui:
-
é o módulo do vetor (um número positivo, em metros). -
é o ângulo medido a partir do eixo positivo, no sentido anti-horário. -
e são as razões trigonométricas que dão as frações do módulo nas direções e .
-
- Exemplificando de modo concreto: se
e , então
e
.
Passo 3
Escolher valores numéricos para
e
e calcular as componentes de
.
- Observação prática e comum em exames: o ângulo de
costuma ser aproximado por do triângulo , o que dá
Essa aproximação deixa as contas bem simples e é aceita em muitos exercícios sem calculadora. (Se for necessário muito mais precisão, usar uma calculadora trigonométrica.)
- Usando essa aproximação:
Passo 4
Escrever o vetor
em função de
e
(resposta do item a).
- Substituindo as componentes:
Passo 5
Relembrar como somar vetores em componentes (pequena explicação didática).
- Regra: para
e ,
- Ou seja, soma-se componente
com componente , e componente com componente .
Passo 6
Calcular
usando componentes (resposta do item b).
- Peguei
(do passo 4) e (dado). - Somando componente a componente:
- Logo
Passo 7
Relembrar como subtrair vetores em componentes (mini-aula).
- Regra: para
e como antes,
- Subtração é só somar com o negativo:
.
Passo 8
Calcular
usando componentes (resposta do item c).
- Peguei
(dado) e (do passo 4). - Subtraindo componente a componente:
- Logo
Passo 9
Calcular o módulo de
(resposta do item d) e explicar a fórmula.
- Fórmula do módulo (teorema de Pitágoras): para
,
- Para
temos e . Calculando:
- Observação: o sinal das componentes não importa para o módulo (porque são elevadas ao quadrado).
Passo 10
Resumo rápido e incentivo: chegamos passo a passo às componentes e ao comprimento; essas operações (decompor com seno e cosseno, somar/subtrair componentes e usar Pitágoras) são as ferramentas essenciais para provas. Você mandou bem chegando até aqui — revise os passos e resolva mais exercícios parecidos para fixar.