Exercício 2 (2024/I):
Uma partícula se move 2.0 km de oeste para leste, a seguir 2.4 km para o sudeste (ângulo de
abaixo da linha horizontal) e depois se move a uma certa distância em direção desconhecida. Ao final de todo o trajeto, ela se encontra a 5.8 km diretamente à leste do seu ponto de partida. Cada etapa do trajeto é feita em linha reta.
(a) Expresse os vetores deslocamentos, referentes as duas primeiras etapas e também o vetor deslocamento resultante, entre o início e o fim do trajeto, sendo todos os vetores, em termos dos vetores unitários
e
.
(b) Determine o vetor deslocamento para a última etapa do trajeto, em termos dos vetores unitários
e
.
(c) Determine o módulo e a direção (seu ângulo com a horizontal) deste vetor do item anterior.
(a) Expresse os vetores deslocamentos, referentes as duas primeiras etapas e também o vetor deslocamento resultante, entre o início e o fim do trajeto, sendo todos os vetores, em termos dos vetores unitários
(b) Determine o vetor deslocamento para a última etapa do trajeto, em termos dos vetores unitários
(c) Determine o módulo e a direção (seu ângulo com a horizontal) deste vetor do item anterior.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados extraídos do enunciado:
- Primeira etapa: deslocamento de
de oeste para leste. - Segunda etapa: deslocamento de
para o sudeste, isto é, com direção abaixo da horizontal (para a direita e para baixo). - Deslocamento resultante (do início ao fim): a partícula está
diretamente a leste do ponto de partida.
- Primeira etapa: deslocamento de
-
O enunciado pede:
(a) escrever os vetores deslocamento das duas primeiras etapas e o vetor resultante entre início e fim, todos em termos de(leste) e (norte);
(b) determinar o vetor deslocamento da última etapa (terceira) em;
(c) determinar o módulo e a direção (ângulo com a horizontal) desse terceiro vetor.
Passo 2
Definir convenções e escrever o primeiro deslocamento.
-
aponta para leste e aponta para norte. - O primeiro deslocamento é completamente para leste, portanto só tem componente em
.
Escrevendo:
Passo 3
Explicar como obter componentes de um vetor com trigonometria e aplicar ao segundo deslocamento.
- Regra: para um vetor de magnitude
que forma ângulo com a horizontal (ângulo positivo para cima), as componentes são
onde
é a componente horizontal (positiva para leste) e
é a componente vertical (positiva para norte).
- No nosso caso a segunda etapa tem
e o ângulo é abaixo da horizontal. Isso significa componente horizontal positiva e componente vertical negativa:
Passo 4
Calcular explicitamente as componentes da segunda etapa usando valores trigonométricos exatos.
-
e .
Logo
Portanto o segundo deslocamento é
Passo 5
Escrever o vetor resultante entre início e fim.
O enunciado diz que o ponto final está
a leste do ponto inicial, sem deslocamento na direção norte-sul. Então o vetor resultante é
Passo 6
Relacionar os três deslocamentos e isolar o terceiro.
A soma vetorial das três etapas é o resultado total:
Isolando
:
Passo 7
Calcular
e então
.
Primeiro,
Agora
ou seja
Também pode ser escrito numericamente usando
:
logo
Passo 8
Determinar o módulo de
.
Fórmula do módulo de um vetor com componentes
e
:
Aplicando a
:
Calcular os termos:
Somando:
Portanto
Passo 9
Determinar a direção (ângulo com a horizontal) de
.
- Para um vetor com componentes
(horizontal) e (vertical), o ângulo medido a partir da horizontal positiva é
Aqui
e
. Então
Simplificando a fração exatamente:
logo
Portanto
Interpretação:
é positivo, logo a direção é
acima da horizontal (norte de leste).
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)