Exercício 2 (2024/I):

Uma partícula se move 2.0 km de oeste para leste, a seguir 2.4 km para o sudeste (ângulo de 60^{\circ} abaixo da linha horizontal) e depois se move a uma certa distância em direção desconhecida. Ao final de todo o trajeto, ela se encontra a 5.8 km diretamente à leste do seu ponto de partida. Cada etapa do trajeto é feita em linha reta.
(a) Expresse os vetores deslocamentos, referentes as duas primeiras etapas e também o vetor deslocamento resultante, entre o início e o fim do trajeto, sendo todos os vetores, em termos dos vetores unitários \hat{i} e \hat{j}.
(b) Determine o vetor deslocamento para a última etapa do trajeto, em termos dos vetores unitários \hat{i} e \hat{j}.
(c) Determine o módulo e a direção (seu ângulo com a horizontal) deste vetor do item anterior.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • Primeira etapa: deslocamento de \,2,0\\ \text{km} de oeste para leste.
    • Segunda etapa: deslocamento de \,2,4\\ \text{km} para o sudeste, isto é, com direção 60^\circ abaixo da horizontal (para a direita e para baixo).
    • Deslocamento resultante (do início ao fim): a partícula está \,5,8\\ \text{km} diretamente a leste do ponto de partida.
  • O enunciado pede:
    (a) escrever os vetores deslocamento das duas primeiras etapas e o vetor resultante entre início e fim, todos em termos de \hat{i} (leste) e \hat{j} (norte);
    (b) determinar o vetor deslocamento da última etapa (terceira) em \hat{i},\hat{j};
    (c) determinar o módulo e a direção (ângulo com a horizontal) desse terceiro vetor.

Passo 2

Definir convenções e escrever o primeiro deslocamento.
  • \hat{i} aponta para leste e \hat{j} aponta para norte.
  • O primeiro deslocamento é completamente para leste, portanto só tem componente em \hat{i}.
Escrevendo:
\vec{d}_1 = 2,0\\ \text{km}\,\hat{i}.

Passo 3

Explicar como obter componentes de um vetor com trigonometria e aplicar ao segundo deslocamento.
  • Regra: para um vetor de magnitude r que forma ângulo \theta com a horizontal (ângulo positivo para cima), as componentes são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde x é a componente horizontal (positiva para leste) e y é a componente vertical (positiva para norte).
  • No nosso caso a segunda etapa tem \,r=2,4\\ \text{km} e o ângulo é \theta=60^\circ abaixo da horizontal. Isso significa componente horizontal positiva e componente vertical negativa:
\text{componente horizontal} = 2,4\cos60^\circ, \qquad \text{componente vertical} = -\,2,4\sin60^\circ.

Passo 4

Calcular explicitamente as componentes da segunda etapa usando valores trigonométricos exatos.
  • \cos60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
2,4\cos60^\circ = 2,4\cdot\tfrac{1}{2}=1,2\\ \text{km},
-\,2,4\sin60^\circ = -\,2,4\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = -\,1,2\sqrt{3}\\ \text{km}.
Portanto o segundo deslocamento é
\vec{d}_2 = 1,2\\ \text{km}\,\hat{i} - 1,2\sqrt{3}\\ \text{km}\,\hat{j}.

Passo 5

Escrever o vetor resultante entre início e fim.
O enunciado diz que o ponto final está 5,8\\ \text{km} a leste do ponto inicial, sem deslocamento na direção norte-sul. Então o vetor resultante é
\vec{R} = 5,8\\ \text{km}\,\hat{i} + 0\\ \text{km}\,\hat{j}.

Passo 6

Relacionar os três deslocamentos e isolar o terceiro.
A soma vetorial das três etapas é o resultado total:
\vec{d}_1 + \vec{d}_2 + \vec{d}_3 = \vec{R}.
Isolando \vec{d}_3:
\vec{d}_3 = \vec{R} - (\vec{d}_1 + \vec{d}_2).

Passo 7

Calcular \vec{d}_1+\vec{d}_2 e então \vec{d}_3.
Primeiro,
\vec{d}_1+\vec{d}_2 = (2,0+1,2)\\ \text{km}\,\hat{i} + (0-1,2\sqrt{3})\\ \text{km}\,\hat{j} = 3,2\\ \text{km}\,\hat{i} - 1,2\sqrt{3}\\ \text{km}\,\hat{j}.
Agora
\vec{d}_3 = \vec{R} - (\vec{d}_1+\vec{d}_2) = (5,8-3,2)\\ \text{km}\,\hat{i} + (0-(-1,2\sqrt{3}))\\ \text{km}\,\hat{j},
ou seja
\vec{d}_3 = 2,6\\ \text{km}\,\hat{i} + 1,2\sqrt{3}\\ \text{km}\,\hat{j}.
Também pode ser escrito numericamente usando \sqrt{3}\approx1,732:
1,2\sqrt{3}\\ \text{km}\approx 2,078\\ \text{km},
logo
\vec{d}_3 \approx 2,6\\ \text{km}\,\hat{i} + 2,078\\ \text{km}\,\hat{j}.

Passo 8

Determinar o módulo de \vec{d}_3.
Fórmula do módulo de um vetor com componentes x e y:
\lVert \vec{v}\rVert = \sqrt{x^2+y^2}.
Aplicando a \vec{d}_3:
\lVert \vec{d}_3\rVert = \sqrt{(2,6)^2 + (1,2\sqrt{3})^2}.
Calcular os termos:
(2,6)^2 = 6,76, \qquad (1,2\sqrt{3})^2 = (1,2)^2\cdot 3 = 1,44\cdot 3 = 4,32.
Somando:
6,76 + 4,32 = 11,08.
Portanto
\lVert \vec{d}_3\rVert = \sqrt{11,08}\approx 3,33\\ \text{km}.

Passo 9

Determinar a direção (ângulo com a horizontal) de \vec{d}_3.
  • Para um vetor com componentes x (horizontal) e y (vertical), o ângulo \theta medido a partir da horizontal positiva é
\theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right).
Aqui x=2,6 e y=1,2\sqrt{3}. Então
\theta = \arctan\!\left(\frac{1,2\sqrt{3}}{2,6}\right).
Simplificando a fração exatamente:
1,2\sqrt{3}=\frac{6\sqrt{3}}{5},\qquad 2,6=\frac{13}{5},
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\frac{1,2\sqrt{3}}{2,6}=\frac{6\sqrt{3}}{13}.
Portanto
\theta = \arctan\!\left(\frac{6\sqrt{3}}{13}\right)\approx \arctan(0,7994)\approx 38,7^\circ.
Interpretação: \theta é positivo, logo a direção é \,38,7^\circ acima da horizontal (norte de leste).

Resposta

(a) \vec{d}_1 = 2,0\\ \text{km}\,\hat{i},\quad \vec{d}_2 = 1,2\\ \text{km}\,\hat{i} - 1,2\sqrt{3}\\ \text{km}\,\hat{j},\quad \vec{R} = 5,8\\ \text{km}\,\hat{i}.\n
(b) \vec{d}_3 = 2,6\\ \text{km}\,\hat{i} + 1,2\sqrt{3}\\ \text{km}\,\hat{j}\\ (\approx 2,6\\ \hat{i} + 2,078\\ \hat{j}\\ \text{km}).\n
(c) \lVert \vec{d}_3\rVert = \sqrt{11,08}\approx 3,33\\ \text{km},\quad \theta = \arctan\!\left(\dfrac{6\sqrt{3}}{13}\right)\approx 38,7^\circ\\ \text{(acima da horizontal).}

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