Exercício 3 (2024/I):
Uma pedra é abandonada da borda de um edifício. Ela atinge o solo em 2.60 s . Despreze a resistência do ar, de modo que a pedra está em queda livre.
(a) Determine a altura do edifício (desenhe o eixo e sua origem).
(b) Determine o módulo da velocidade da pedra imediatamente antes dela atingir o solo.
(c) Faça um gráfico da componente vertical da velocidade em função do tempo, ao longo de todo o movimento da pedra. Especifique a unidade para cada grandeza.
(a) Determine a altura do edifício (desenhe o eixo e sua origem).
(b) Determine o módulo da velocidade da pedra imediatamente antes dela atingir o solo.
(c) Faça um gráfico da componente vertical da velocidade em função do tempo, ao longo de todo o movimento da pedra. Especifique a unidade para cada grandeza.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (sem assumir nada além do que foi dito):
- Uma pedra é abandonada da borda de um edifício; isto é, a pedra parte do repouso.
- O tempo de queda até o solo é
. - A resistência do ar é desprezada (movimento com aceleração constante devido à gravidade).
O enunciado pede três coisas:
(a) determinar a altura do edifício (pede também que se desenhe o eixo e sua origem);
(b) determinar o módulo da velocidade imediatamente antes do impacto;
(c) fazer um gráfico da componente vertical da velocidade em função do tempo ao longo do movimento e indicar unidades.
Passo 2
Escolha do sistema de referência (importante para não se confundir em provas):
- Vou colocar a origem do eixo vertical no solo (ponto onde a pedra atinge o chão).
- Vou tomar a direção vertical para cima como positiva.
- Assim, a posição inicial da pedra (na borda) será
(onde é a altura que queremos), a posição final ao atingir o solo é . - A velocidade inicial é
porque a pedra é abandonada (parte do repouso). - A aceleração vertical é constante e apontando para baixo; como escolhemos para cima o sinal positivo, escrevemos
, com .
Explicando de maneira didática: escolher a origem no chão torna o resultado “altura = número positivo” — fácil de interpretar numa prova. Sempre anotar o sinal deconforme a orientação escolhida.
Passo 3
Fórmulas de movimento uniformemente acelerado (aquelas que caem direto em várias provas):
Quando a aceleração é constante, as relações entre posição
, velocidade
e tempo são:
Quando a aceleração
Aqui:
é a componente vertical da velocidade no instante
(em
),
é a posição vertical (em
),
é a velocidade inicial (em
),
é a posição inicial (em
),
é a aceleração (em
), e
é o tempo (em
).
No nosso caso: e
.
No nosso caso:
Passo 4
Cálculo da altura
(parte (a)).
Usamos a fórmula da posição com ,
,
,
e
:
Usamos a fórmula da posição com
Isolando
:
Substituindo
e
:
Calculemos passo a passo (sem calculadora, do jeito “manual” que vale na prova):
Para multiplicar:
.
Arredondando com consistência de algarismos significativos (o tempo tem 3 algarismos significativos), obtemos:
Arredondando com consistência de algarismos significativos (o tempo
Portanto a altura do edifício é aproximadamente
.
Passo 5
Cálculo da velocidade imediatamente antes do impacto (parte (b)).
Usamos a fórmula da velocidade com e
:
Usamos a fórmula da velocidade com
No instante do impacto
:
Calculemos:
Com o sinal:
O enunciado pede o módulo da velocidade imediatamente antes do impacto, isto é
:
(usando arredondamento para 3 algarismos significativos).
Passo 6
Interpretação do sinal e da magnitude (ajuda para provas):
- O valor negativo de
indica que a velocidade está apontando para baixo (coerente com a queda). - O módulo
é o número que costuma ser exigido em questões objetivas (pois são interessados na rapidez ao atingir o solo).
Passo 7
Construção do gráfico pedido (parte (c)) — como desenhar e o que marcar (passo a passo para fazer na prova):
- Eixos: eixo horizontal é o tempo
em , eixo vertical é em . Indicar a unidade no rótulo de cada eixo: e . - Intervalo do tempo: o movimento ocorre para
. Marque essa extensão no eixo . Pode colocar marcações em , , , , . - Valores chave para
: a função é linear, dada por
- Em
: . Marque o ponto . - Em
: . Marque . - Em
: . Marque . - Em
: (aprox. ). Marque .
- Forma do gráfico: é uma reta decrescente (pendente constante) que passa por
e por . A inclinação da reta é (a aceleração). - Indique claramente a equação no gráfico: escreva
e desenhe a reta entre os pontos e . Opcionalmente, acrescente setas no final da reta se quisesse estender o gráfico, mas como o movimento acabou ao atingir o solo, só é necessário para .
Dica prática para a prova: desenhe primeiro os dois pontos extremose , depois ligue com uma régua — isto garante precisão e rapidez.
Passo 8
Resumo final de “como fazer rápido na prova” (motivação):
- Escolha a origem (aqui: origem no solo, para cima positivo).
- Use
quando a velocidade inicial for zero; calcule com atenção aos sinais. - Para a velocidade, use
. - Para o gráfico, lembre-se:
é uma reta com inclinação passando por . Coragem — é direto quando se segue esse roteiro!
Resposta
(a)
(b)
(c) para
; gráfico: reta decrescente no plano
passando por
e por
.
(b)
(c)