Exercício 3 (2024/I):

Uma pedra é abandonada da borda de um edifício. Ela atinge o solo em 2.60 s . Despreze a resistência do ar, de modo que a pedra está em queda livre.
(a) Determine a altura do edifício (desenhe o eixo e sua origem).
(b) Determine o módulo da velocidade da pedra imediatamente antes dela atingir o solo.
(c) Faça um gráfico da componente vertical da velocidade em função do tempo, ao longo de todo o movimento da pedra. Especifique a unidade para cada grandeza.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (sem assumir nada além do que foi dito):
  • Uma pedra é abandonada da borda de um edifício; isto é, a pedra parte do repouso.
  • O tempo de queda até o solo é 2{,}60\\ \mathrm{s}.
  • A resistência do ar é desprezada (movimento com aceleração constante devido à gravidade).
    O enunciado pede três coisas:
    (a) determinar a altura do edifício (pede também que se desenhe o eixo e sua origem);
    (b) determinar o módulo da velocidade imediatamente antes do impacto;
    (c) fazer um gráfico da componente vertical da velocidade em função do tempo ao longo do movimento e indicar unidades.

Passo 2

Escolha do sistema de referência (importante para não se confundir em provas):
  • Vou colocar a origem do eixo vertical no solo (ponto onde a pedra atinge o chão).
  • Vou tomar a direção vertical para cima como positiva.
  • Assim, a posição inicial da pedra (na borda) será y_0 = h (onde h é a altura que queremos), a posição final ao atingir o solo é y=0.
  • A velocidade inicial é v_0=0 porque a pedra é abandonada (parte do repouso).
  • A aceleração vertical é constante e apontando para baixo; como escolhemos para cima o sinal positivo, escrevemos a_y = -g, com g\approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
    Explicando de maneira didática: escolher a origem no chão torna o resultado “altura = número positivo” — fácil de interpretar numa prova. Sempre anotar o sinal de a conforme a orientação escolhida.

Passo 3

Fórmulas de movimento uniformemente acelerado (aquelas que caem direto em várias provas):
Quando a aceleração a é constante, as relações entre posição y(t), velocidade v_y(t) e tempo são:
v_y(t)=v_0 + a\,t
y(t)=y_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2}a t^2
Aqui: v_y(t) é a componente vertical da velocidade no instante t (em \mathrm{m/s}), y(t) é a posição vertical (em \mathrm{m}), v_0 é a velocidade inicial (em \mathrm{m/s}), y_0 é a posição inicial (em \mathrm{m}), a é a aceleração (em \mathrm{m/s^2}), e t é o tempo (em \mathrm{s}).
No nosso caso: v_0=0 e a=-g.

Passo 4

Cálculo da altura h (parte (a)).
Usamos a fórmula da posição com y(t_\text{impact})=0, y_0=h, v_0=0, a=-g e t_\text{impact}=2{,}60\\ \mathrm{s}:
0 = h + 0\cdot t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Isolando h:
h = \tfrac{1}{2} g t^2.
Substituindo g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e t=2{,}60\\ \mathrm{s}:
h = \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}8\cdot (2{,}60)^2.
Calculemos passo a passo (sem calculadora, do jeito “manual” que vale na prova):
(2{,}60)^2 = 2{,}60\times2{,}60 = 6{,}76.
\tfrac{1}{2}\cdot 9{,}8 = 4{,}9.
h = 4{,}9 \times 6{,}76.
Para multiplicar: 6{,}76\times4{,}9 = 6{,}76\times(5 - 0{,}1) = 33{,}80 - 0{,}676 = 33{,}124.
Arredondando com consistência de algarismos significativos (o tempo 2{,}60 tem 3 algarismos significativos), obtemos:
h \approx 33{,}1\\ \mathrm{m}.
Portanto a altura do edifício é aproximadamente 33{,}1\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo da velocidade imediatamente antes do impacto (parte (b)).
Usamos a fórmula da velocidade com v_0=0 e a=-g:
v_y(t)=0 - g t = -g t.
No instante do impacto t=2{,}60\\ \mathrm{s}:
v_y(2{,}60) = -9{,}8 \times 2{,}60.
Calculemos:
9{,}8\times2{,}60 = \frac{9{,}8\times26}{10} = \frac{254{,}8}{10} = 25{,}48.
Com o sinal:
v_y(2{,}60) = -25{,}48\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede o módulo da velocidade imediatamente antes do impacto, isto é |v_y|:
|v_y| \approx 25{,}5\\ \mathrm{m/s}
(usando arredondamento para 3 algarismos significativos).

Passo 6

Interpretação do sinal e da magnitude (ajuda para provas):
  • O valor negativo de v_y indica que a velocidade está apontando para baixo (coerente com a queda).
  • O módulo 25{,}5\\ \mathrm{m/s} é o número que costuma ser exigido em questões objetivas (pois são interessados na rapidez ao atingir o solo).

Passo 7

Construção do gráfico pedido (parte (c)) — como desenhar e o que marcar (passo a passo para fazer na prova):
  1. Eixos: eixo horizontal é o tempo t em \mathrm{s}, eixo vertical é v_y em \mathrm{m/s}. Indicar a unidade no rótulo de cada eixo: t\\ (\mathrm{s}) e v_y\\ (\mathrm{m/s}).
  2. Intervalo do tempo: o movimento ocorre para 0\le t\le 2{,}60\\ \mathrm{s}. Marque essa extensão no eixo t. Pode colocar marcações em 0{,}50, 1{,}00, 1{,}50, 2{,}00, 2{,}60.
  3. Valores chave para v_y(t): a função é linear, dada por
v_y(t) = -9{,}8\,t\quad(\mathrm{m/s}).
  • Em t=0: v_y(0)=0. Marque o ponto (0,0).
  • Em t=1{,}00\\ \mathrm{s}: v_y(1{,}00)=-9{,}8\\ \mathrm{m/s}. Marque (1{,}00,-9{,}8).
  • Em t=2{,}00\\ \mathrm{s}: v_y(2{,}00)=-19{,}6\\ \mathrm{m/s}. Marque (2{,}00,-19{,}6).
  • Em t=2{,}60\\ \mathrm{s}: v_y(2{,}60)=-25{,}48\\ \mathrm{m/s} (aprox. -25{,}5). Marque (2{,}60,-25{,}5).
  1. Forma do gráfico: é uma reta decrescente (pendente constante) que passa por (0,0) e por (2{,}60,-25{,}48). A inclinação da reta é -9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (a aceleração).
  2. Indique claramente a equação no gráfico: escreva v_y(t)=-9{,}8\,t\\ (\mathrm{m/s}) e desenhe a reta entre os pontos t=0 e t=2{,}60. Opcionalmente, acrescente setas no final da reta se quisesse estender o gráfico, mas como o movimento acabou ao atingir o solo, só é necessário para 0\le t\le2{,}60.
    Dica prática para a prova: desenhe primeiro os dois pontos extremos (0,0) e (2{,}60,-25{,}5), depois ligue com uma régua — isto garante precisão e rapidez.

Passo 8

Resumo final de “como fazer rápido na prova” (motivação):
  • Escolha a origem (aqui: origem no solo, para cima positivo).
  • Use h=\tfrac{1}{2}gt^2 quando a velocidade inicial for zero; calcule com atenção aos sinais.
  • Para a velocidade, use v_y=-gt.
  • Para o gráfico, lembre-se: v_y(t) é uma reta com inclinação -g passando por (0,0). Coragem — é direto quando se segue esse roteiro!

Resposta

(a) h = 33{,}1\\ \mathrm{m}
(b) |v| = 25{,}5\\ \mathrm{m/s}
(c) v_y(t) = -9{,}8\,t\\ \mathrm{m/s} para 0\le t\le 2{,}60\\ \mathrm{s}; gráfico: reta decrescente no plano (t,v_y) passando por (0,0) e por (2{,}60,-25{,}5).

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