O limite é quando x tende para +\infty (ou seja, x cresce sem limite para valores positivos).
Precisamos determinar o número real L tal que f(x) se aproxima de L quando x cresce muito.
Passo 2
Observação intuitiva (para sentir o que deve acontecer): quando x fica muito grande, o denominador de \dfrac{1}{x} fica enorme, então a fração fica muito pequena. Por exemplo, \dfrac{1}{10}=0,1, \dfrac{1}{100}=0,01, \dfrac{1}{1000}=0,001. Esses valores vão ficando cada vez menores, aproximando-se de 0. Isso sugere que o limite é 0.
Passo 3
Agora vamos usar a definição formal de limite quando x\to\infty. A definição diz:
\text{Dizemos que }\lim_{x\to\infty} f(x)=L\text{ se, para todo }\varepsilon>0,\\ \exists M>0\text{ tal que, se }x>M,\text{ então }|f(x)-L|<\varepsilon.
Vou aplicar essa definição com a hipótese L=0.
Passo 4
Calcule a distância entre f(x) e 0:
\bigg|\frac{1}{x}-0\bigg|=\frac{1}{|x|}.
Como estamos fazendo x\to\infty, podemos considerar x>0 para x suficientemente grande, e então \dfrac{1}{|x|}=\dfrac{1}{x}.
Passo 5
Dado um \varepsilon>0 arbitrário, escolha
M=\frac{1}{\varepsilon}.
Se x>M então x>\dfrac{1}{\varepsilon}, e portanto
\frac{1}{x}<\varepsilon.
Isto é exatamente |\tfrac{1}{x}-0|<\varepsilon. Assim, para todo \varepsilon>0 existe um M (escolhido acima) que garante a condição da definição.
Passo 6
Pela definição formal, como a condição vale para qualquer \varepsilon>0, concluímos que