Exercício 25. Um material é aquecido de modo que sua temperatura (em
) após
minutos é dada por
Determine:
-
-
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
- O enunciado fornece a função temperatura
em função do tempo :
- Significado das variáveis:
-
é o tempo medido em minutos. -
é a temperatura do material em no instante .
-
- O que a questão pede:
- Calcular
, ou seja, a temperatura no instante inicial . - Calcular
, ou seja, a temperatura quando o tempo cresce sem limite.
- Calcular
Passo 2
Primeiro vamos calcular
por substituição direta na fórmula. Isto é, basta colocar
na expressão de
:
Aqui estou apenas trocando o valor de
por
na fórmula dada.
Passo 3
Avaliar o expoente:
. Então
. Lembrando uma propriedade básica da exponencial:
Substituindo isso em
obtemos:
Portanto o valor no instante inicial é
.
Passo 4
Agora vamos calcular o limite quando
tende a infinito. Observe a parte que depende de
:
. É importante saber o comportamento de
para
quando
.
Teoria curta e didática: para
a função
é positiva e decresce exponencialmente para zero quando
cresce. Em termos de limite:
No nosso caso
, logo
(Intuição: a potência negativa faz o expoente tender a
, e
.)
Passo 5
Usando as propriedades de limite (a soma e o produto preservam limites quando os limites existem), a expressão
tem limite igual a
Substituindo
obtemos
Assim, quando o tempo cresce muito, a temperatura tende a
.