Exercício 25. Um material é aquecido de modo que sua temperatura (em { }^{\circ} \mathrm{C} ) após t minutos é dada por
T(t)=20+80\left(1-e^{-0.1 t}\right)
Determine:
  1. T(0)
  2. \lim _{t \rightarrow \infty} T(t)

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • O enunciado fornece a função temperatura T em função do tempo t:
T(t)=20+80\left(1-e^{-0,1t}\right).
  • Significado das variáveis:
    • t é o tempo medido em minutos.
    • T(t) é a temperatura do material em {}^{\circ}\mathrm{C} no instante t.
  • O que a questão pede:
    1. Calcular T(0), ou seja, a temperatura no instante inicial t=0.
    2. Calcular \displaystyle \lim_{t\to\infty} T(t), ou seja, a temperatura quando o tempo cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro vamos calcular T(0) por substituição direta na fórmula. Isto é, basta colocar t=0 na expressão de T(t):
T(0)=20+80\left(1-e^{-0,1\cdot 0}\right).
Aqui estou apenas trocando o valor de t por 0 na fórmula dada.

Passo 3

Avaliar o expoente: -0,1\cdot 0 = 0. Então e^{-0,1\cdot 0}=e^{0}. Lembrando uma propriedade básica da exponencial:
e^{0}=1.
Substituindo isso em T(0) obtemos:
T(0)=20+80\left(1-1\right)=20+80\cdot 0=20.
Portanto o valor no instante inicial é \,20{}^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 4

Agora vamos calcular o limite quando t tende a infinito. Observe a parte que depende de t: e^{-0,1t}. É importante saber o comportamento de e^{-a t} para a>0 quando t\to\infty.
Teoria curta e didática: para a>0 a função \,t\mapsto e^{-a t}\, é positiva e decresce exponencialmente para zero quando t cresce. Em termos de limite:
\lim_{t\to\infty} e^{-a t}=0\quad\text{para todo }a>0.
No nosso caso a=0,1>0, logo
\lim_{t\to\infty} e^{-0,1t}=0.
(Intuição: a potência negativa faz o expoente tender a -\infty, e e^{-\infty}=0.)

Passo 5

Usando as propriedades de limite (a soma e o produto preservam limites quando os limites existem), a expressão
T(t)=20+80\left(1-e^{-0,1t}\right)
tem limite igual a
\lim_{t\to\infty}T(t)=20+80\left(1-\lim_{t\to\infty}e^{-0,1t}\right).
Substituindo \lim_{t\to\infty}e^{-0,1t}=0 obtemos
\lim_{t\to\infty}T(t)=20+80(1-0)=20+80=100.
Assim, quando o tempo cresce muito, a temperatura tende a \,100{}^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

T(0)=20
\displaystyle \lim_{t\to\infty}T(t)=100

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