Exercício 20. Determine:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite lateral
Informações dadas: a função é
e a aproximação é feita por valores de
que se aproximam de
pela esquerda (ou seja,
e
tende a
). A pergunta é: qual é o comportamento (valor finito ou divergência) de
quando
se aproxima de
por valores negativos?
Passo 2
Intuição via exemplos numéricos (coisa que dá para fazer rapidamente na prova para ver o comportamento):
- Se
então . - Se
então . - Se
então .
Vê-se que, à medida que
fica mais próximo de
pela esquerda,
fica cada vez mais negativo, indo para
. Essa é a indicação de que o limite diverge para
.
Passo 3
Um argumento rápido usando substituição: coloque
com
. Então
equivale a
e
Como
quando
, segue que
. Isso confirma que
Passo 4
Agora uma demonstração formal, usando a definição de limite que tende a
:
Definição: dizemos que
se, para todo número
, existe
tal que, sempre que
satisfaz
, então
.
Vamos construir esse
a partir de um
: escolha
Note que como
, temos
.
Passo 5
Provar que essa escolha funciona. Se
satisfaz
, então
. Para números negativos no intervalo
vale a propriedade que, ao tomar recíproco, a desigualdade inverte-se, portanto
Mas
. Logo
. Isso prova exatamente a condição da definição para qualquer
. Portanto a função diverge para
ao aproximar-se de
pela esquerda.
Passo 6
Conclusão prática e dica de prova: tanto os exemplos numéricos quanto a substituição
dão uma resposta rápida na prova. Se for pedido rigor, use a construção
como mostrado. Importante lembrar: pela direita o comportamento é diferente (vai para
), então sempre atentar ao lado pelo qual
se aproxima de
.