Exercício 20. Determine:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite lateral
\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}.
Informações dadas: a função é f(x)=\dfrac{1}{x} e a aproximação é feita por valores de x que se aproximam de 0 pela esquerda (ou seja, x<0 e x tende a 0). A pergunta é: qual é o comportamento (valor finito ou divergência) de 1/x quando x se aproxima de 0 por valores negativos?

Passo 2

Intuição via exemplos numéricos (coisa que dá para fazer rapidamente na prova para ver o comportamento):
  • Se x=-0,1 então \dfrac{1}{x}=-10.
  • Se x=-0,01 então \dfrac{1}{x}=-100.
  • Se x=-0,001 então \dfrac{1}{x}=-1000.
Vê-se que, à medida que x fica mais próximo de 0 pela esquerda, \dfrac{1}{x} fica cada vez mais negativo, indo para -\infty. Essa é a indicação de que o limite diverge para -\infty.

Passo 3

Um argumento rápido usando substituição: coloque x=-t com t>0. Então x\to 0^- equivale a t\to 0^+ e
\frac{1}{x}=\frac{1}{-t}=-\frac{1}{t}.
Como \dfrac{1}{t}\to +\infty quando t\to 0^+, segue que -\dfrac{1}{t}\to -\infty. Isso confirma que
\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty.

Passo 4

Agora uma demonstração formal, usando a definição de limite que tende a -\infty:
Definição: dizemos que \lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty se, para todo número M<0, existe \delta>0 tal que, sempre que x satisfaz 0>x>-\delta, então \dfrac{1}{x}<M.
Vamos construir esse \delta a partir de um M<0: escolha
\delta = -\frac{1}{M}.
Note que como M<0, temos \delta>0.

Passo 5

Provar que essa escolha funciona. Se x satisfaz 0>x>-\delta, então -\delta < x < 0. Para números negativos no intervalo (-\delta,0) vale a propriedade que, ao tomar recíproco, a desigualdade inverte-se, portanto
\frac{1}{x} < \frac{1}{-\delta}.
Mas \dfrac{1}{-\delta}=\dfrac{1}{-(-1/M)}=\dfrac{1}{1/M}=M. Logo \dfrac{1}{x}<M. Isso prova exatamente a condição da definição para qualquer M<0. Portanto a função diverge para -\infty ao aproximar-se de 0 pela esquerda.

Passo 6

Conclusão prática e dica de prova: tanto os exemplos numéricos quanto a substituição x=-t dão uma resposta rápida na prova. Se for pedido rigor, use a construção \delta=-1/M como mostrado. Importante lembrar: pela direita o comportamento é diferente (vai para +\infty), então sempre atentar ao lado pelo qual x se aproxima de 0.

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados