Exercício 21.1.2. Determine o valor de m para que os vetores u=(1, m,-3) e v=(m-2,2,4) sejam ortogonais em relação ao produto interno usual do \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede encontrar m tal que os vetores
u = (1,\,m,\,-3) \quad\text{e}\quad v = (m-2,\,2,\,4)
sejam ortogonais em \mathbb{R}^3 com o produto interno usual. Isso significa usar a definição
u\cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3
e impor a condição de ortogonalidade
u\cdot v = 0.

Passo 2

Aplicando a fórmula ao nossos vetores, temos
u\cdot v = 1\cdot(m-2) + m\cdot2 + (-3)\cdot4 = (m-2) + 2m - 12 = 3m - 14
Para que u e v sejam ortogonais, exigimos
3m - 14 = 0

Passo 3

Basta isolar m na equação
3m - 14 = 0
o que dá
m = \frac{14}{3}

Resposta

m = \tfrac{14}{3}

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