Determine as equações dos traços nos planos coordenados e esboce os traços em um sistema de coordenadas cartesianas.
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}+\frac{z^{2}}{4}=1

Passo 1

O enunciado dá a superfície quadriculada
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}+\frac{z^{2}}{4}=1
e pede para encontrar as curvas obtidas ao intersectar essa superfície com os três planos coordenados ( xy, xz e yz) — estes são os chamados traços — e, em seguida, esboçar essas curvas num sistema de coordenadas cartesiano. Para isso, vamos fixar, em cada caso, uma coordenada igual a zero e ver que tipo de cônica aparece.

Passo 2

Traço no plano xy (ou seja, z=0). Substituindo z=0 na equação da superfície, obtemos
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1.
Isto é uma elipse de semi-eixos \,a=3 ao longo de x e \,b=5 ao longo de y.

Passo 3

Traço no plano xz (ou seja, y=0). Substituindo y=0, vem
\frac{x^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{4}=1.
Aqui temos outra elipse, de semi-eixo \,3 ao longo de x e \,2 ao longo de z.

Passo 4

Traço no plano yz (ou seja, x=0). Substituindo x=0, vem
\frac{y^{2}}{25}+\frac{z^{2}}{4}=1.
Também é uma elipse, com semi-eixo \,5 ao longo de y e \,2 ao longo de z.

Passo 5

Para esboçar, imagine os três eixos mutuamente perpendiculares:
  • No plano xy, desenhe uma elipse centrada na origem que atinja x=\pm3 e y=\pm5.
  • No plano xz, desenhe uma elipse centrada na origem que atinja x=\pm3 e z=\pm2.
  • No plano yz, desenhe uma elipse centrada na origem que atinja y=\pm5 e z=\pm2.
    Cada elipse fica “colada” ao respectivo plano coordenado.

Resposta

Traços da superfície \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{25}+\dfrac{z^{2}}{4}=1 nos planos coordenados:
\displaystyle z=0:\\ \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1 (elipse de semi-eixos 3,5).
\displaystyle y=0:\\ \frac{x^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{4}=1 (elipse de semi-eixos 3,2).
\displaystyle x=0:\\ \frac{y^{2}}{25}+\frac{z^{2}}{4}=1 (elipse de semi-eixos 5,2).

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