Determine as equações dos traços nos planos coordenados e esboce os traços em um sistema de coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado dá a superfície quadriculada
e pede para encontrar as curvas obtidas ao intersectar essa superfície com os três planos coordenados (
,
e
) — estes são os chamados traços — e, em seguida, esboçar essas curvas num sistema de coordenadas cartesiano. Para isso, vamos fixar, em cada caso, uma coordenada igual a zero e ver que tipo de cônica aparece.
Passo 2
Traço no plano
(ou seja,
). Substituindo
na equação da superfície, obtemos
Isto é uma elipse de semi-eixos
ao longo de
e
ao longo de
.
Passo 3
Traço no plano
(ou seja,
). Substituindo
, vem
Aqui temos outra elipse, de semi-eixo
ao longo de
e
ao longo de
.
Passo 4
Traço no plano
(ou seja,
). Substituindo
, vem
Também é uma elipse, com semi-eixo
ao longo de
e
ao longo de
.
Passo 5
Para esboçar, imagine os três eixos mutuamente perpendiculares:
- No plano
, desenhe uma elipse centrada na origem que atinja e . - No plano
, desenhe uma elipse centrada na origem que atinja e . - No plano
, desenhe uma elipse centrada na origem que atinja e .
Cada elipse fica “colada” ao respectivo plano coordenado.
Resposta
Traços da superfície
nos planos coordenados: