Considere a elipse de equação
e a reta dada por
. Determine os valores possíveis de
para que
(a)
seja secante à elipse;
(b)
seja tangente à elipse;
(c)
não intercepte a elipse.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a elipse de equação
e a reta vertical
,
. Queremos saber para quais valores de
essa reta intersecta a elipse em dois pontos (secante), em um ponto (tangente) ou em nenhum ponto. A ideia é substituir
na equação da elipse e contar as soluções reais em
.
Passo 2
Substituindo
na equação da elipse obtemos
Isolando
temos
Passo 3
Para que existam intersecções reais precisamos de
, ou seja
- Se
então e há duas soluções distintas em : a reta é secante. - Se
então e há exatamente uma solução em : a reta é tangente. - Se
então sem soluções reais: a reta não intercepta a elipse.
Passo 4
Traduzindo cada condição para
:
Resposta
(a)
é secante se
.
(b) é tangente se
.
(c) não intersepta a elipse se
.
(b)
(c)