Considere a elipse de equação
\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{4}=1
e a reta dada por r: X=(h, 0)+\lambda(0,1), \lambda \in \mathbb{R}. Determine os valores possíveis de h para que
(a) r seja secante à elipse;
(b) r seja tangente à elipse;
(c) r não intercepte a elipse.

Passo 1

O enunciado dá a elipse de equação
\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{4}=1
e a reta vertical r\colon x=h, y=\lambda. Queremos saber para quais valores de h essa reta intersecta a elipse em dois pontos (secante), em um ponto (tangente) ou em nenhum ponto. A ideia é substituir x=h na equação da elipse e contar as soluções reais em y.

Passo 2

Substituindo x=h na equação da elipse obtemos
\frac{h^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{4}=1.
Isolando y^2 temos
\frac{y^{2}}{4}=1-\frac{h^{2}}{49} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} =4\Bigl(1-\frac{h^{2}}{49}\Bigr).

Passo 3

Para que existam intersecções reais precisamos de y^{2}\ge0, ou seja
4\Bigl(1-\frac{h^{2}}{49}\Bigr)\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1-\frac{h^{2}}{49}\ge0.
  1. Se 1-\tfrac{h^{2}}{49}>0 então y^{2}>0 e há duas soluções distintas em y: a reta é secante.
  2. Se 1-\tfrac{h^{2}}{49}=0 então y^{2}=0 e há exatamente uma solução em y: a reta é tangente.
  3. Se 1-\tfrac{h^{2}}{49}<0 então y^{2}<0 sem soluções reais: a reta não intercepta a elipse.

Passo 4

Traduzindo cada condição para h:
1-\frac{h^{2}}{49}>0\;\Longleftrightarrow\;h^{2}<49\;\Longleftrightarrow\;|h|<7,
1-\frac{h^{2}}{49}=0\;\Longleftrightarrow\;h^{2=}\,49\;\Longleftrightarrow\;|h|=7,
1-\frac{h^{2}}{49}<0\;\Longleftrightarrow\;h^{2}>49\;\Longleftrightarrow\;|h|>7.

Resposta

(a) r é secante se \lvert h\rvert<7.
(b) r é tangente se \lvert h\rvert=7.
(c) r não intersepta a elipse se \lvert h\rvert>7.

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