Exercício 21.1.3. Em \mathcal{C}([-\pi, \pi], \mathbb{R}) defina o produto interno \langle f(x), g(x)\rangle=\int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(x) d x e mostre que \operatorname{sen}(x) e \cos (x) são ortogonais.

Passo 1

O enunciado está em \mathcal{C}([-\pi,\pi],\mathbb{R}) com produto interno
\langle f,g\rangle \;=\;\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,g(x)\,dx
e pede para mostrar que \sin(x) e \cos(x) são ortogonais, ou seja, que
\langle \sin(x),\cos(x)\rangle=0.

Passo 2

Escrevemos o produto interno entre \sin(x) e \cos(x) e usamos a identidade trigonométrica
\sin(x)\cos(x)=\tfrac12\sin(2x). Assim,
\langle \sin,\cos\rangle =\int_{-\pi}^{\pi}\sin(x)\cos(x)\,dx =\tfrac12\int_{-\pi}^{\pi}\sin(2x)\,dx.

Passo 3

Calculamos a integral de \sin(2x):
\int\sin(2x)\,dx=-\tfrac12\cos(2x)+C.
Logo
\tfrac12\int_{-\pi}^{\pi}\sin(2x)\,dx =\tfrac12\Bigl[-\tfrac12\cos(2x)\Bigr]_{-\pi}^{\pi} =-\tfrac14\bigl[\cos(2\pi)-\cos(-2\pi)\bigr].

Passo 4

Como \cos(2\pi)=\cos(-2\pi)=1, temos
\langle \sin,\cos\rangle =-\tfrac14\bigl[1-1\bigr]=0.
Portanto \sin(x) e \cos(x) são ortogonais nesse produto interno.

Resposta

\langle \sin(x),\cos(x)\rangle=0, logo \sin(x) e \cos(x) são ortogonais.

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