Exercício 22.0.3. Consideremos as seguintes bases do R^{2} e do R^{3}. Encontre uma base ortonromal aplicadndo o processo de orotogonalização de Gram-Schmidt para os vetores abaixo.
B=\{(3,0,0),(-1,3,0),(2,-5,1)\}

Passo 1

O enunciado dá a base
B = \{v_1=(3,0,0),\;v_2=(-1,3,0),\;v_3=(2,-5,1)\}\subseteq\mathbb{R}^3
e pede uma base ortonormal pelo processo de Gram–Schmidt, usando o produto interno usual e depois normalizando os vetores obtidos.

Passo 2

Começamos com
u_1 = v_1 = (3,0,0).
A norma é
\|u_1\| = \sqrt{3^2+0^2+0^2} = 3,
logo o primeiro vetor unitário é
e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = (1,0,0).

Passo 3

Em seguida, projetamos v_2 sobre u_1:
\mathrm{proj}_{u_1}(v_2) = \frac{v_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}\,u_1 = \frac{(-1)\cdot3+3\cdot0+0\cdot0}{3^2}\,(3,0,0) = (-1,0,0).
Definimos
u_2 = v_2 - \mathrm{proj}_{u_1}(v_2) = (-1,3,0) - (-1,0,0) = (0,3,0),
e
\|u_2\| = \sqrt{0^2+3^2+0^2} = 3, \quad e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = (0,1,0).

Passo 4

Agora projetamos v_3 sobre u_1 e u_2:
\mathrm{proj}_{u_1}(v_3) = \frac{2\cdot3 + (-5)\cdot0 + 1\cdot0}{9}\,(3,0,0) = (2,0,0),
\mathrm{proj}_{u_2}(v_3) = \frac{2\cdot0 + (-5)\cdot3 + 1\cdot0}{9}\,(0,3,0) = (0,-5,0).
Então
u_3 = v_3 - \mathrm{proj}_{u_1}(v_3) - \mathrm{proj}_{u_2}(v_3) = (2,-5,1) - (2,0,0) - (0,-5,0) = (0,0,1),
com
\|u_3\| = 1, \quad e_3 = (0,0,1).

Resposta

A base ortonormal resultante é
\{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}.

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