Exercício 21. Mostre que o operador T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{F}^{\infty}\right) dado por
T\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)=\left(0, x_{1}, x_{2}, \ldots\right)
não tem autovalores.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{F}^{\infty}\to\mathbb{F}^{\infty} definido por
T\bigl(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots\bigr)=\bigl(0,x_{1},x_{2},x_{3},\ldots\bigr).
O que se pede: mostrar que T não tem autovalores, isto é, provar que não existe \lambda\in\mathbb{F} e vetor não nulo x=(x_{1},x_{2},\ldots)\in\mathbb{F}^{\infty} tais que
T(x)=\lambda x.
Informações relevantes dadas: a ação de T em coordenadas (insere 0 na primeira coordenada e desloca as demais para a direita).

Passo 2

Relembrando a definição (passo didático): \lambda\in\mathbb{F} é autovalor de um operador linear T se existe vetor x\neq 0 com
T(x)=\lambda x.
Esse vetor x chama-se autovetor associado a \lambda. Aqui escrevemos x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots) e vamos estudar a equação T(x)=\lambda x coordenada a coordenada.

Passo 3

Escrevendo a equação T(x)=\lambda x usando a definição de T obtemos:
(0,x_{1},x_{2},x_{3},\ldots)=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\lambda x_{3},\ldots).
Igualando coordenadas temos o sistema infinito de igualdades:
\begin{cases} 0=\lambda x_{1},\\[4pt] x_{1}=\lambda x_{2},\\[4pt] x_{2}=\lambda x_{3},\\[4pt] x_{3}=\lambda x_{4},\\[4pt] \qquad\vdots \end{cases}]

Passo 4

Caso \lambda=0. A primeira igualdade dá 0=0 (trivial), mas a segunda igualdade x_{1}=0 (porque \lambda x_{2}=0) e, usando as demais igualdades, segue que x_{2}=x_{3}=\cdots=0. Logo a única solução é x=0. Portanto \lambda=0 não fornece autovetor não nulo e, assim, não é autovalor.

Passo 5

Caso \lambda\neq 0. Da primeira igualdade 0=\lambda x_{1} obtemos imediatamente x_{1}=0 (dividindo por \lambda). Substituindo na segunda igualdade x_{1}=\lambda x_{2} obtemos 0=\lambda x_{2}, logo x_{2}=0. Repetindo o argumento, da igualdade x_{2}=\lambda x_{3} vem x_{3}=0, e assim por diante. Formalizando por indução: se x_{1}=\cdots=x_{k}=0 então x_{k}=\lambda x_{k+1} implica x_{k+1}=0 (porque \lambda\neq 0); como x_{1}=0 já vale, conclui-se que todas as coordenadas x_{n} são zero. Portanto a única solução para \lambda\neq 0 também é x=0.

Passo 6

Conclusão completa (didática): para qualquer \lambda\in\mathbb{F} a equação T(x)=\lambda x só admite a solução trivial x=0. Como autovalor exige a existência de autovetor não nulo, T não possui autovalores.

Resposta

O operador T não tem autovalores.

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