Exercício 28. Suponha que T \in \mathcal{L}(V) não tem autovalores e T^{4}=I. Mostre que T^{2}=-I.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • T\in\mathcal{L}(V) é um operador linear em um espaço vetorial V.
  • T não tem autovalores (ou seja, não existe \lambda no corpo base tal que exista v\neq 0 com T(v)=\lambda v).
  • Tem-se a identidade T^{4}=I, onde I é o operador identidade em V.
O que pede o problema:
  • Mostrar que T^{2}=-I.

Passo 2

Conceito-chave: polinômios anuladores e polinômio minimal.
  • Dizemos que um polinômio p(x) anula T se p(T)=0 (operador zero).
  • O polinômio minimal m_T(x) de T é o polinômio monico de menor grau tal que m_T(T)=0.
  • Propriedade importante: qualquer polinômio que anule T é múltiplo do polinômio minimal; em outras palavras, m_T(x) divide qualquer p(x) com p(T)=0.
Aplicando ao nosso caso: como T^{4}=I, temos
T^{4}-I=0,
ou seja, o polinômio p(x)=x^{4}-1 anula T. Portanto, pelo fato acima,
m_T(x)\mid (x^{4}-1).

Passo 3

Fatoração de x^{4}-1 sobre o corpo real (assumimos o corpo base \mathbb{R}, pois a hipótese “não tem autovalores” só faz sentido não trivial sobre \mathbb{R}; se fosse \mathbb{C} haveria autovalores entre as raízes de x^{4}-1):
x^{4}-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+1).
Os fatores (x-1) e (x+1) correspondem às raízes 1 e -1 (autovalores possíveis), enquanto x^{2}+1 é irreducível sobre \mathbb{R} (suas raízes são i e -i no \mathbb{C}).

Passo 4

Relação entre fatores lineares do polinômio minimal e autovalores:
  • Se (x-\lambda) divide m_T(x), então \lambda é autovalor de T.
    Justificativa rápida e intuitiva: se m_T(x)=(x-\lambda)q(x) então
0=m_T(T)=(T-\lambda I)q(T).
Se (T-\lambda I) fosse invertível, multiplicando à esquerda por (T-\lambda I)^{-1} obteríamos q(T)=0, contradizendo a minimalidade de m_T. Logo (T-\lambda I) não é invertível, o que implica que \ker(T-\lambda I)\neq\{0\}, ou seja, existe vetor próprio com autovalor \lambda.

Passo 5

Usando a hipótese de que T não tem autovalores:
  • Pelo item anterior, isso impede que (x-1) ou (x+1) dividam m_T(x), caso contrário teríamos autovalores 1 ou -1.
  • Como m_T(x) divide (x-1)(x+1)(x^{2}+1) e não pode conter os fatores (x-1) nem (x+1), sobram apenas os possíveis divisores formados por x^{2}+1.
  • O polinômio x^{2}+1 é irreducível sobre \mathbb{R} e não possui fatores lineares reais, então a única possibilidade não trivial para m_T(x) é
m_T(x)=x^{2}+1.
(Observação: m_T não pode ser a constante 1 porque então I=0, absurdo; e não existem outros divisores não-triviais de x^{2}+1 sobre \mathbb{R}.)

Passo 6

Concluir a identidade para o operador:
  • Como m_T(x)=x^{2}+1, temos m_T(T)=T^{2}+I=0.
  • Portanto
T^{2}=-I,
que é exatamente o que se pedia demonstrar.

Resposta

T^{2}=-I

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