Exercício 28. Suponha que
não tem autovalores e
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
-
é um operador linear em um espaço vetorial . -
não tem autovalores (ou seja, não existe no corpo base tal que exista com ). - Tem-se a identidade
, onde é o operador identidade em .
O que pede o problema:
- Mostrar que
.
Passo 2
Conceito-chave: polinômios anuladores e polinômio minimal.
- Dizemos que um polinômio
anula se (operador zero). - O polinômio minimal
de é o polinômio monico de menor grau tal que . - Propriedade importante: qualquer polinômio que anule
é múltiplo do polinômio minimal; em outras palavras, divide qualquer com .
Aplicando ao nosso caso: como
, temos
ou seja, o polinômio
anula
. Portanto, pelo fato acima,
Passo 3
Fatoração de
sobre o corpo real (assumimos o corpo base
, pois a hipótese “não tem autovalores” só faz sentido não trivial sobre
; se fosse
haveria autovalores entre as raízes de
):
Os fatores
e
correspondem às raízes
e
(autovalores possíveis), enquanto
é irreducível sobre
(suas raízes são
e
no
).
Passo 4
Relação entre fatores lineares do polinômio minimal e autovalores:
- Se
divide , então é autovalor de .
Justificativa rápida e intuitiva: seentão
Se
fosse invertível, multiplicando à esquerda por
obteríamos
, contradizendo a minimalidade de
. Logo
não é invertível, o que implica que
, ou seja, existe vetor próprio com autovalor
.
Passo 5
Usando a hipótese de que
não tem autovalores:
- Pelo item anterior, isso impede que
ou dividam , caso contrário teríamos autovalores ou . - Como
divide e não pode conter os fatores nem , sobram apenas os possíveis divisores formados por . - O polinômio
é irreducível sobre e não possui fatores lineares reais, então a única possibilidade não trivial para é
(Observação:
não pode ser a constante
porque então
, absurdo; e não existem outros divisores não-triviais de
sobre
.)
Passo 6
Concluir a identidade para o operador:
- Como
, temos . - Portanto
que é exatamente o que se pedia demonstrar.