Seja F: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) a transformação linear dada por F(p(t))=t^{2} p^{\prime \prime}(t). Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem dessa transformação linear.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear F: P_{2}(\mathbb{R}) \to P_{2}(\mathbb{R}) definida por
F(p(t)) = t^{2}\,p''(t).
Informações relevantes que temos:
  • O espaço P_{2}(\mathbb{R}) é o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 2.
  • Um polinômio geral em P_{2}(\mathbb{R}) pode ser escrito como p(t)=a + b t + c t^{2}, onde a,b,c\in\mathbb{R}.
  • O enunciado pede: (1) determinar uma base e a dimensão do núcleo (kernel) de F; (2) determinar uma base e a dimensão da imagem (imagem) de F.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar de forma prática o que é derivada de um polinômio e a segunda derivada (explicação didática curta).
  • Se p(t)=a+bt+ct^{2}, então a derivada primeira é obtida aplicando a regra d(t^{n})/dt = n t^{n-1}. Assim:
p'(t)=b+2c t.
  • A segunda derivada é a derivada de p'(t). Aplicando a mesma regra:
p''(t)=\frac{d}{dt}(b+2c t)=2c.
Aqui a,b,c são constantes reais; observe que p''(t) é uma constante (não depende de t) porque o grau máximo inicial era 2.

Passo 3

Agora aplicamos a definição de F ao polinômio geral p(t)=a+bt+ct^{2}. Substituindo p''(t)=2c em F(p(t))=t^{2}p''(t) obtemos:
F(p(t)) = t^{2}\cdot 2c = 2c\,t^{2}.
Ou seja, para qualquer p\in P_{2}(\mathbb{R}) com coeficiente c do termo t^{2}, F(p) é exatamente o polinômio 2c\,t^{2}.

Passo 4

Determinar o núcleo \ker(F). Definição: \ker(F)=\{p\in P_{2}(\mathbb{R}) \mid F(p)=0\}, onde 0 é o polinômio nulo (identicamente zero).
  • Usando o resultado do passo anterior, F(p)=2c\,t^{2}. Esse polinômio é o polinômio nulo se, e somente se, o coeficiente 2c for zero, ou seja, c=0.
  • Logo os polinômios em \ker(F) são exatamente aqueles com c=0, isto é, os polinômios da forma p(t)=a+bt com a,b\in\mathbb{R}.

Passo 5

Escolher uma base para \ker(F) e calcular sua dimensão.
  • Observação: os polinômios 1 e t são da forma a+bt (com a=1,b=0 e a=0,b=1 respectivamente).
  • Verificamos que \{1,t\} é um conjunto linearmente independente em P_{2}(\mathbb{R}) (se \alpha\cdot 1 + \beta\cdot t = 0 para todo t, então \alpha=0 e \beta=0).
  • Esses dois vetores geram todo o conjunto \{a+bt\}. Portanto \{1,t\} é uma base de \ker(F).
  • Conclusão: \dim(\ker(F))=2.

Passo 6

Determinar a imagem \operatorname{Im}(F). Definição: \operatorname{Im}(F)=\{F(p)\mid p\in P_{2}(\mathbb{R})\}.
  • Pelo passo 3, todo F(p) tem a forma 2c\,t^{2}. Portanto a imagem é o conjunto dos múltiplos escalares de t^{2}; em outras palavras,
\operatorname{Im}(F)=\{ \lambda\, t^{2} \mid \lambda\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{t^{2}\}.
  • Note que t^{2} é um polinômio não-nulo, logo gera um subespaço unidimensional.

Passo 7

Escolher uma base para \operatorname{Im}(F) e calcular sua dimensão.
  • A escolha natural é \{t^{2}\}. É linearmente independente (pois \alpha t^{2}=0 implica \alpha=0).
  • Assim \{t^{2}\} é uma base de \operatorname{Im}(F) e \dim(\operatorname{Im}(F))=1.

Passo 8

Verificação rápida com valores específicos (para ganhar confiança):
  • F(1)=t^{2}\cdot 0=0.
  • F(t)=t^{2}\cdot 0=0.
  • F(t^{2})=t^{2}\cdot 2 = 2t^{2}.
    Esses cálculos confirmam que 1 e t vão para 0 (logo estão no núcleo) e que t^{2} vai para um múltiplo de t^{2} (logo gera a imagem).

Passo 9

Checagem da fórmula de dimensão (Teorema do Núcleo e Imagem / posto-nulidade) como teste de consistência:
  • \dim(P_{2}(\mathbb{R}))=3.
  • Encontramos \dim(\ker(F))=2 e \dim(\operatorname{Im}(F))=1.
  • De fato 2+1=3, consistente com o teorema.

Resposta

\ker(F)=\operatorname{span}\{1,t\},\\ \dim(\ker(F))=2
\operatorname{Im}(F)=\operatorname{span}\{t^{2}\},\\ \dim(\operatorname{Im}(F))=1

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