Seja
a transformação linear dada por
. Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem dessa transformação linear.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
Informações relevantes que temos:
- O espaço
é o espaço de todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a . - Um polinômio geral em
pode ser escrito como , onde . - O enunciado pede: (1) determinar uma base e a dimensão do núcleo (kernel) de
; (2) determinar uma base e a dimensão da imagem (imagem) de .
Passo 2
Primeiro vamos lembrar de forma prática o que é derivada de um polinômio e a segunda derivada (explicação didática curta).
- Se
, então a derivada primeira é obtida aplicando a regra . Assim:
- A segunda derivada é a derivada de
. Aplicando a mesma regra:
Aqui
são constantes reais; observe que
é uma constante (não depende de
) porque o grau máximo inicial era
.
Passo 3
Agora aplicamos a definição de
ao polinômio geral
. Substituindo
em
obtemos:
Ou seja, para qualquer
com coeficiente
do termo
,
é exatamente o polinômio
.
Passo 4
Determinar o núcleo
. Definição:
, onde
é o polinômio nulo (identicamente zero).
- Usando o resultado do passo anterior,
. Esse polinômio é o polinômio nulo se, e somente se, o coeficiente for zero, ou seja, . - Logo os polinômios em
são exatamente aqueles com , isto é, os polinômios da forma com .
Passo 5
Escolher uma base para
e calcular sua dimensão.
- Observação: os polinômios
e são da forma (com e respectivamente). - Verificamos que
é um conjunto linearmente independente em (se para todo , então e ). - Esses dois vetores geram todo o conjunto
. Portanto é uma base de . - Conclusão:
.
Passo 6
Determinar a imagem
. Definição:
.
- Pelo passo 3, todo
tem a forma . Portanto a imagem é o conjunto dos múltiplos escalares de ; em outras palavras,
- Note que
é um polinômio não-nulo, logo gera um subespaço unidimensional.
Passo 7
Escolher uma base para
e calcular sua dimensão.
- A escolha natural é
. É linearmente independente (pois implica ). - Assim
é uma base de e .
Passo 8
Verificação rápida com valores específicos (para ganhar confiança):
-
. -
. -
.
Esses cálculos confirmam quee vão para (logo estão no núcleo) e que vai para um múltiplo de (logo gera a imagem).
Passo 9
Checagem da fórmula de dimensão (Teorema do Núcleo e Imagem / posto-nulidade) como teste de consistência:
-
. - Encontramos
e . - De fato
, consistente com o teorema.