Exercício 21. Resolva as inequações a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a inequação
e pede que se determine todos os valores de
(reais) que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A incógnita é
. - A desigualdade é estrita: é o sinal
, não . - Procuramos o conjunto de números reais que tornam
verdadeira.
Passo 2
Relembrando regras básicas sobre desigualdades (muito importantes para a prova):
- Se somarmos ou subtrairmos a mesma quantidade em ambos os lados de uma desigualdade, ela permanece com o mesmo sinal. Por exemplo, de
segue para qualquer . - Se multiplicarmos ou dividirmos ambos os lados por um número positivo, o sinal também permanece. Por exemplo, de
e segue . - Se multiplicarmos ou dividirmos ambos os lados por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte. Ou seja, de
e segue .
Intuição rápida do porquê da inversão: multiplicar por um número negativo reflete a reta dos números; a ordem se inverte.
Passo 3
Aplicando uma operação direta útil: multiplicar ambos os lados por
. Como
é negativo, ao fazer isso precisamos inverter o sinal da desigualdade.
Começando de
multiplicamos ambos os lados por
. Então, invertendo o sinal
para
, obtemos
Passo 4
Mostro um método alternativo (equivalente) sem multiplicar por número negativo, só para reforçar e dar outra visão que pode ser usada em prova: adicionar
aos dois lados e depois subtrair
.
Partindo de
Partindo de
soma-se
em ambos os lados:
Agora subtrai-se
em ambos os lados:
Essa desigualdade é o mesmo que escrever
As duas abordagens dão o mesmo resultado.
Passo 5
Verificação com valores de teste (sempre bom para ganhar confiança):
- Se
, então e é verdadeiro — logo deve pertencer à solução (e confirma). - Se
, então e é verdadeiro — pertence (e confirma). - Se
, então e é falso — não pertence (e é falso).
Esses testes batem com a solução.
Passo 6
Interpretando a solução em notação de conjunto e em intervalo (útil na prova):
- Forma desigualdade:
. - Notação em intervalo:
.
Em palavras: todos os números reais maiores do que, sem incluir (porque a desigualdade é estrita).