Exercício 21. Resolva as inequações a seguir:
2 x \leq 6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação linear dada:
2x \le 6.
Informações fornecidas:
  • A incógnita é x.
  • A inequação é do 1º grau (linear) em x.
  • Procura-se o conjunto de todos os números reais x que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Conceito e regras que vamos usar (explicadinho e sem formalidade chata):
  • Uma inequação é como uma equação, só que em vez de “=” temos um sinal de desigualdade ( <,\le,>,\ge). A solução é um conjunto de valores que tornam a desigualdade verdadeira.
  • Operações válidas: pode somar ou subtrair a mesma quantidade dos dois lados sem mudar a desigualdade; pode multiplicar ou dividir ambos os lados por um mesmo número diferente de zero, mas ATENÇÃO:
    • Se multiplicar ou dividir por um número positivo, o sentido da desigualdade NÃO muda.
    • Se multiplicar ou dividir por um número negativo, o sentido da desigualdade INVERTE (por exemplo, de \le vira \ge).
  • Essas regras servem para “isolar” x, exatamente como em equações.

Passo 3

Aplicando as regras para isolar x em \,2x \le 6.
Dividimos ambos os lados por 2. Como 2 é positivo, o sentido da desigualdade permanece o mesmo. Em símbolos:
2x \le 6 \quad\Rightarrow\quad \frac{2x}{2} \le \frac{6}{2}.
Agora simplificando:
x \le 3.
Explanação: dividir por 2 equivale a perguntar quais valores de x multiplicados por 2 dão algo menor ou igual a 6. Esses valores são exatamente os que são menores ou iguais a 3.

Passo 4

Expressões equivalentes para a solução (o que isso significa na prática):
  • Forma desigualdade direta: \,x \le 3.
  • Notação em conjunto: \{\,x\in\mathbb{R}\mid x \le 3\,\}.
  • Notação intervalar: (-\infty,\,3].
Todas dizem a mesma coisa: todos os números reais menores que 3 e o próprio 3.

Passo 5

Teste rápido para checar (bastam alguns exemplos para ter confiança):
  • Se x=3: 2\cdot 3 = 6 e 6 \le 6 é verdadeiro. OK.
  • Se x=0: 2\cdot 0 = 0 e 0 \le 6 é verdadeiro. OK.
  • Se x=4: 2\cdot 4 = 8 e 8 \le 6 é falso, então 4 não pertence à solução. OK.

Passo 6

Dica prática para a prova (memorização útil e exemplo extra):
  • Sempre que dividir ou multiplicar por um número positivo, o sinal não muda; por negativo, o sinal inverte.
  • Exemplo extra (para fixar a troca de sinal): resolver -4x < 8.
    • Dividindo por -4 (número negativo) invertemos o sinal:
    -4x < 8 \quad\Rightarrow\quad x > \frac{8}{-4} = -2.
    • Resultado: x > -2. (Repare que "<" virou ">".)

Resposta

x \le 3

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