Exercício 21. Resolva as inequações a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação linear dada:
Informações fornecidas:
- A incógnita é
. - A inequação é do 1º grau (linear) em
. - Procura-se o conjunto de todos os números reais
que satisfazem a desigualdade.
Passo 2
Conceito e regras que vamos usar (explicadinho e sem formalidade chata):
- Uma inequação é como uma equação, só que em vez de “=” temos um sinal de desigualdade (
). A solução é um conjunto de valores que tornam a desigualdade verdadeira. - Operações válidas: pode somar ou subtrair a mesma quantidade dos dois lados sem mudar a desigualdade; pode multiplicar ou dividir ambos os lados por um mesmo número diferente de zero, mas ATENÇÃO:
- Se multiplicar ou dividir por um número positivo, o sentido da desigualdade NÃO muda.
- Se multiplicar ou dividir por um número negativo, o sentido da desigualdade INVERTE (por exemplo, de
vira ).
- Essas regras servem para “isolar”
, exatamente como em equações.
Passo 3
Aplicando as regras para isolar
em
.
Dividimos ambos os lados por
. Como
é positivo, o sentido da desigualdade permanece o mesmo. Em símbolos:
Agora simplificando:
Explanação: dividir por
equivale a perguntar quais valores de
multiplicados por
dão algo menor ou igual a
. Esses valores são exatamente os que são menores ou iguais a
.
Passo 4
Expressões equivalentes para a solução (o que isso significa na prática):
- Forma desigualdade direta:
. - Notação em conjunto:
. - Notação intervalar:
.
Todas dizem a mesma coisa: todos os números reais menores que
e o próprio
.
Passo 5
Teste rápido para checar (bastam alguns exemplos para ter confiança):
- Se
: e é verdadeiro. OK. - Se
: e é verdadeiro. OK. - Se
: e é falso, então não pertence à solução. OK.
Passo 6
Dica prática para a prova (memorização útil e exemplo extra):
- Sempre que dividir ou multiplicar por um número positivo, o sinal não muda; por negativo, o sinal inverte.
- Exemplo extra (para fixar a troca de sinal): resolver
. - Dividindo por
(número negativo) invertemos o sinal:
- Resultado:
. (Repare que virou .)
- Dividindo por