Exercício 22. Considere 4 cidades A, B, C e D. Ana e João pensam fazer um passeio pelas 4 cidades, passando por cada uma delas apenas uma vez.
(a) Se eles podem começar por qualquer cidade e terminar em qualquer cidade, quantos trajetos são possíveis?
(b) Se eles devem começar pela cidade A, quantos caminhos são possíveis?

Passo 1

O enunciado pede para contar de quantas maneiras Ana e João podem percorrer as quatro cidades A, B, C e D passando por cada uma exatamente uma vez. Esse é um problema de análise combinatória que se resolve com permutações de elementos distintos.

Passo 2

Para permutar n elementos distintos, o número total de sequências em que eles podem aparecer é dado por
n! = n \times (n-1)\times\cdots\times 2 \times 1.
Isso vem da escolha sequencial: na primeira posição há n opções, na segunda n-1, e assim por diante.

Passo 3

(a) Aqui não há restrição de cidade inicial ou final, portanto basta permutar as 4 cidades:
4! = 4\times3\times2\times1 = 24.
Logo, existem 24 trajetos possíveis.

Passo 4

(b) Se o passeio deve começar em A, fixamos A na primeira posição e permutamos as outras 3 cidades:
3! = 3\times2\times1 = 6.
Portanto, há 6 caminhos possíveis começando por A.

Resposta

(a) 24
(b) 6

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