Exercício 24. Dos 6 ! números formados com as permutações dos algarismos 1,2,3,4,5 e 6 , quantos estão entre 450000 e 620000?

Passo 1

O enunciado nos diz que há 6! números de seis algarismos formados pelas permutações de \{1,2,3,4,5,6\}. Queremos contar quantos desses estão no intervalo entre 450 000 e 620 000. Note que todo número é da forma
N = d_{1}d_{2}d_{3}d_{4}d_{5}d_{6},
com \{d_{1},\dots,d_{6}\}=\{1,2,3,4,5,6\}. Basta classificar pelos possíveis valores de d_{1} (o dígito mais significativo) e impor as restrições numéricas.

Passo 2

Considere d_{1}=4. Então N varia de 400 000 a 499 999. Para ter N>450000 precisamos que o segundo dígito satisfa
d_{2}\ge5.
Entre os dígitos restantes só podemos escolher d_{2}=5 ou d_{2}=6. Para cada escolha de d_{2} 4! maneiras de ordenar os quatro dígitos restantes em d_{3},d_{4},d_{5},d_{6}. Logo o total neste caso é
2 \times 4! = 2 \times 24 = 48.

Passo 3

Considere d_{1}=5. Nesse caso N varia de 500 000 a 599 999, logo todo número com d_{1}=5 está automaticamente entre 450 000 e 620 000. O número de tais permutações é
5! = 120.

Passo 4

Considere d_{1}=6. Agora N varia de 600 000 a 699 999, mas queremos N<620000. Isso obriga
d_{2}=1,
pois se d_{2}\ge2 teríamos N\ge620000. Fixado d_{1}=6 e d_{2}=1, sobram 4 dígitos para as posições d_{3},d_{4},d_{5},d_{6}, gerando 4! números. Assim obtemos
4! = 24.

Passo 5

Somando as quantidades dos três casos:
48 + 120 + 24 = 192.

Resposta

192

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