Exercício 24. Dos 6 ! números formados com as permutações dos algarismos
e 6 , quantos estão entre 450000 e 620000?
Passo 1
O enunciado nos diz que há
números de seis algarismos formados pelas permutações de
. Queremos contar quantos desses estão no intervalo entre 450 000 e 620 000. Note que todo número é da forma
com
. Basta classificar pelos possíveis valores de
(o dígito mais significativo) e impor as restrições numéricas.
Passo 2
Considere
. Então
varia de 400 000 a 499 999. Para ter
precisamos que o segundo dígito satisfa
Entre os dígitos restantes só podemos escolher
ou
. Para cada escolha de
há
maneiras de ordenar os quatro dígitos restantes em
. Logo o total neste caso é
Passo 3
Considere
. Nesse caso
varia de 500 000 a 599 999, logo todo número com
está automaticamente entre 450 000 e 620 000. O número de tais permutações é
Passo 4
Considere
. Agora
varia de 600 000 a 699 999, mas queremos
. Isso obriga
pois se
teríamos
. Fixado
e
, sobram 4 dígitos para as posições
, gerando
números. Assim obtemos
Passo 5
Somando as quantidades dos três casos: