Exercício 6.8.22. Em
com base canônica
, seja
o operador linear tal que
a) Escrever a matriz representativa de
.
b) Encontrar uma base para
e
.
c) Provar que existe uma base em que a matriz representativa de
é
d) Estabelecer se é possível determinar uma base ortonormal formada por autovetores de
.
b) Encontrar uma base para
c) Provar que existe uma base em que a matriz representativa de
Passo 1
O enunciado define um operador linear
na base canônica
por
Pede-se:
a) matriz de em
;
b) bases de e
;
c) mostrar que existe base em que a matriz de é
a) matriz de
b) bases de
c) mostrar que existe base em que a matriz de
d) decidir se existe base ortonormal de autovetores de
.
Passo 2
Em coordenadas canônicas, as colunas de
são
. Logo
e
Passo 3
Im A é o span das colunas de
. Note que a
.ª coluna é
vez a
.ª, logo
Para
resolvemos
, isto é
Logo
Passo 4
Para diagonalizar buscamos autovalores e autovetores de
.
Logo os autovalores reais são
.
-
: resolve ; ; livre,; , v \parallel (0,1,0). -
: resolve ; ; , v \parallel (1,0,-1). -
: é ; ;v \parallel (1,0,1).
Passo 5
Tomando a base de autovetores
temos
Na base
a matriz de
fica
Passo 6
Como
é uma base ortonormal de
formada por autovetores de
.
Resposta
a)
b)
,
c) Na base de autovetores
a matriz é
,
c) Na base de autovetores
a matriz é
d) Sim.
é simétrica, logo existe base ortonormal de autovetores, por exemplo