Exercício 6.8.24. Seja A o operador que, na base canônica \mathcal{B}_{3}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}, possui a matriz representativa
com k \in \mathbb{R}.
a) Determinar por quais valores de k \in \mathbb{R} o operador A è diagonalizável.
b) Determinar por quais valores de k \in \mathbb{R} o operador A è diagonalizável com una matriz de passagem P ortogonal.
c) Pelos valores de k encontrados em (b) calcular P.
Passo 1
O enunciado dá o operador A:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 cuja matriz na base canônica é
e pede:
a) para quais k\in\mathbb R ele é diagonalizável;
b) para quais k ele é diagonalizável com matriz de passagem ortogonal;
c) nesse caso, calcular essa matriz ortogonal P.
Passo 2
Vamos achar o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A - \lambda I).
com autovalores \lambda=5,0,-5. Vamos encontrar vetores próprios e normalizá-los:
1. Para \lambda=5, resolvemos (A-5I)v=0. Obtemos a relação -5x+4y=0,\;4x-5y+3z=0,\;3y-5z=0.
De y\neq0 segue x=\tfrac45y, z=\tfrac35y. Tomando y=5, escolhemos
v_1=(4,5,3),
cujo comprimento é \|v_1\|=\sqrt{16+25+9}=5\sqrt2. Logo o vetor unitário é
u_1=\frac1{5\sqrt2}(4,5,3).
2. Para \lambda=-5, resolvemos (A+5I)v=0. De modo análogo surge x=-\tfrac45y,\;z=-\tfrac35y. Tomando y=5,
v_2=(-4,5,-3),
com \|v_2\|=5\sqrt2, e vetor unitário
u_2=\frac1{5\sqrt2}(-4,5,-3).
3. Para \lambda=0, resolvemos Av=0. Chega-se a y=0 e x=-\tfrac34z. Tomando z=4,
v_3=(-3,0,4),
com \|v_3\|=5, e vetor unitário
u_3=\frac1{5}(-3,0,4).
Esses três vetores são ortonormais em \mathbb R^3.
Passo 6
Organizando as colunas de P como (u_1,u_3,u_2), obtemos uma matriz ortogonal que diagonaliza A na ordem dos autovalores (5,0,-5):