Exercício 6.8.23. Seja A o operador que, na base canônica \mathcal{B}_{3}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}, possui a matriz representativa
\left(\begin{array}{ccc} -1 & k & 2 \\\\ 0 & -3 & 0 \\\\ 2 & k^{2} & -1 \end{array}\right)
\operatorname{com} k \in \mathbb{R}.
a) Determinar por quais valores de k \in \mathbb{R} o operador A è diagonalizável.
b) Determinar por quais valores de k \in \mathbb{R} o operador A è diagonalizável com una matriz de passagem P ortogonal.
c) Pelos valores de k encontrados em ( b ) calcular P.

Passo 1

O enunciado dá o operador A\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
M=\begin{pmatrix} -1 & k & 2\\\\ 0 & -3 & 0\\\\ 2 & k^2 & -1 \end{pmatrix}.
Precisamos (a) decidir para quais k ele é diagonalizável (isto é, tem três auto­vetores linearmente independentes), (b) para quais k admite diagonalização ortogonal (isto é, é simétrico real), e (c) quando essa diagonalização ortogonal existir, encontrar a matriz ortogonal de passagem P.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de M. Fazendo
\det(M-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} -1-\lambda & k & 2\\\\ 0 & -3-\lambda & 0\\\\ 2 & k^2 & -1-\lambda \end{pmatrix}
e expandindo pela segunda linha (que tem apenas um termo não nulo), obtemos
\det(M-\lambda I) =( -3-\lambda)\,\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & 2\\\ 2 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
O menor é
(-1-\lambda)^2-2\cdot2 =\lambda^2+2\lambda+1-4 =\lambda^2+2\lambda-3 =(\lambda+3)(\lambda-1).
Como -3-\lambda=-(\lambda+3), segue
\det(M-\lambda I) =-(\lambda+3)^2(\lambda-1).

Passo 3

Os autovalores são as raízes de \det(M-\lambda I)=0, ou seja
\lambda_1=-3\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda_2=1\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 4

Para \lambda=-3 consideramos o sistema (M+3I)x=0, ou seja
\begin{pmatrix} 2 & k & 2\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 2 & k^2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0.
As duas equações não triviais são
2x_1+kx_2+2x_3=0, \quad 2x_1+k^2x_2+2x_3=0.
Subtraindo-as obtém-se
(k-k^2)x_2=0 \;\Longrightarrow\; k(1-k)\,x_2=0.
Se k\neq0 e k\neq1, vem x_2=0 e então x_1=-x_3, dando espaço próprio unidimensional.
Se k=0 ou k=1, não há essa imposição sobre x_2 e sobra uma só equação x_1=-x_3, de modo que a dimensão do espaço próprio é 2.
Para \lambda=1 a multiplicidade algébrica é 1, e sempre há espaço próprio de dimensão 1.

Passo 5

Um operador em \mathbb{R}^3 é diagonalizável se, para cada autovalor, a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) coincidir com a multiplicidade algébrica. Aqui isso exige que para \lambda=-3 a dimensão geométrica seja 2. Concluímos:
A\text{ é diagonalizável} \quad\Longleftrightarrow\quad k=0\text{ ou }k=1.éá

Passo 6

Para que A seja diagonalizável por matriz ortogonal em \mathbb{R}^3 é necessário e suficiente que M seja simétrica real, isto é, M=M^T. Comparando as entradas, requer
k=0 \quad\text{e}\quad k^2=0,
logo a única solução é k=0.

Passo 7

Restou o caso k=0. Então
M=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2\\\\ 0 & -3 & 0\\\\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix},
com autovalores -3 (mult.\ 2) e 1 (mult.\ 1).
  1. Para \lambda=1 resolvemos (M-I)x=0:
    -2x_1+2x_3=0,\;-4x_2=0.
    Daí x_2=0, x_3=x_1. Um auto­vetor conveniente é (1,0,1).
    Normalizando: v_3=\frac1{\sqrt2}(1,0,1).
  2. Para \lambda=-3 resolvemos (M+3I)x=0:
    2x_1+2x_3=0, sem restrição sobre x_2.
    Espaço próprio gerado por (1,0,-1) e (0,1,0).
    Tomamos v_1=\frac1{\sqrt2}(1,0,-1), \quad v_2=(0,1,0).
É imediato verificar que v_1,v_2,v_3 são mutuamente ortonormais.

Passo 8

Formamos a matriz ortogonal P cujas colunas são esses vetores (na ordem dos autovalores -3,-3,1):
P=\begin{pmatrix} \frac1{\sqrt2} & 0 & \frac1{\sqrt2}\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -\frac1{\sqrt2} & 0 & \frac1{\sqrt2} \end{pmatrix},
de modo que
P^T\,M\,P =\operatorname{diag}(-3,\,-3,\,1).

Resposta

a) A é diagonalizável exatamente para k=0 ou k=1.
b) A é diagonalizável por matriz ortogonal somente para k=0.
c) Para k=0, uma escolha de P ortogonal é
P=\begin{pmatrix} \frac1{\sqrt2} & 0 & \frac1{\sqrt2}\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -\frac1{\sqrt2} & 0 & \frac1{\sqrt2} \end{pmatrix},
que satisfaz P^TMP=\diag(-3,-3,1).

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