Exercício 6.8.23. Seja A o operador que, na base canônica \mathcal{B}_{3}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} de \mathbb{R}^{3}, possui a matriz representativa
\operatorname{com} k \in \mathbb{R}.
a) Determinar por quais valores de k \in \mathbb{R} o operador A è diagonalizável.
b) Determinar por quais valores de k \in \mathbb{R} o operador A è diagonalizável com una matriz de passagem P ortogonal.
c) Pelos valores de k encontrados em ( b ) calcular P.
Passo 1
O enunciado dá o operador A\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
Precisamos (a) decidir para quais k ele é diagonalizável (isto é, tem três autovetores linearmente independentes), (b) para quais k admite diagonalização ortogonal (isto é, é simétrico real), e (c) quando essa diagonalização ortogonal existir, encontrar a matriz ortogonal de passagem P.
Passo 2
Vamos calcular o polinômio característico de M. Fazendo
Se k\neq0 e k\neq1, vem x_2=0 e então x_1=-x_3, dando espaço próprio unidimensional.
Se k=0 ou k=1, não há essa imposição sobre x_2 e sobra uma só equação x_1=-x_3, de modo que a dimensão do espaço próprio é 2.
Para \lambda=1 a multiplicidade algébrica é 1, e sempre há espaço próprio de dimensão 1.
Passo 5
Um operador em \mathbb{R}^3 é diagonalizável se, para cada autovalor, a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) coincidir com a multiplicidade algébrica. Aqui isso exige que para \lambda=-3 a dimensão geométrica seja 2. Concluímos:
A\text{ é diagonalizável} \quad\Longleftrightarrow\quad k=0\text{ ou }k=1.éá
Passo 6
Para que A seja diagonalizável por matriz ortogonal em \mathbb{R}^3 é necessário e suficiente que M seja simétrica real, isto é, M=M^T. Comparando as entradas, requer
Para \lambda=1 resolvemos (M-I)x=0: -2x_1+2x_3=0,\;-4x_2=0.
Daí x_2=0, x_3=x_1. Um autovetor conveniente é (1,0,1).
Normalizando:v_3=\frac1{\sqrt2}(1,0,1).
Para \lambda=-3 resolvemos (M+3I)x=0: 2x_1+2x_3=0, sem restrição sobre x_2.
Espaço próprio gerado por (1,0,-1) e (0,1,0).
Tomamosv_1=\frac1{\sqrt2}(1,0,-1), \quad v_2=(0,1,0).
É imediato verificar que v_1,v_2,v_3 são mutuamente ortonormais.
Passo 8
Formamos a matriz ortogonal P cujas colunas são esses vetores (na ordem dos autovalores -3,-3,1):
a) A é diagonalizável exatamente para k=0 ou k=1.
b) A é diagonalizável por matriz ortogonal somente para k=0.
c) Para k=0, uma escolha de P ortogonal é