Exercício 4.8.22. Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear tal que
F\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(3 x_{1}-2 x_{2}, x_{1}+x_{2}+x_{3}, 2 x_{1}-3 x_{2}-x_{3}\right)
a) Determinar \operatorname{Ker} F e \operatorname{Im} F, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases.
b) Calcular a matriz representativa M_{F}^{\mathcal{Y}} de F com respeito à base \mathcal{Y}=\{(2,1,0),(1,1,0),(0,1,1)\}.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação linear
F\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, \quad F(x_1,x_2,x_3)=(3x_1-2x_2,\;x_1+x_2+x_3,\;2x_1-3x_2-x_3),
e pede em (a) núcleo e imagem com dimensões e bases, em (b) a matriz de F na base \mathcal{Y}=\{y_1,y_2,y_3\} com
y_1=(2,1,0),\quad y_2=(1,1,0),\quad y_3=(0,1,1).
Usaremos teoria de sistemas lineares para o núcleo e o teorema do núcleo-imagem para a dimensão, e coordenadas em \mathcal{Y} para a matriz.

Passo 2

Para achar \operatorname{Ker}F resolvemos o sistema homogêneo
3x_{1}-2x_{2}=0,\quad x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,\quad 2x_{1}-3x_{2}-x_{3}=0.
Da segunda equação vem \;x_{3}=-x_{1}-x_{2}. Substituindo na terceira obtém-se a mesma que a primeira, logo resta
3x_{1}-2x_{2}=0\;\Longrightarrow\;x_{2}=\tfrac32\,x_{1},\quad x_{3}=-x_{1}-\tfrac32x_{1}=-\tfrac52x_{1}.
Um vetor genérico do núcleo é
(x_1,x_2,x_3) =x_1\bigl(1,\tfrac32,-\tfrac52\bigr).
Escolhendo x_1=2 obtemos o gerador (2,3,-5). Assim
\operatorname{Ker}F=\mathrm{span}\{(2,3,-5)\},\quad \dim\operatorname{Ker}F=1.

Passo 3

Pelo teorema do núcleo-imagem em espaço de dimensão 3 temos
\dim\operatorname{Im}F =3-\dim\operatorname{Ker}F =3-1=2.
Para encontrar uma base notamos
F(e_1)=(3,1,2),\quad F(e_2)=(-2,1,-3),\quad F(e_3)=(0,1,-1).
Verifica-se que, por exemplo, F(e_1) e F(e_2) são linearmente independentes, então
\operatorname{Im}F =\mathrm{span}\{(3,1,2),\,(-2,1,-3)\},\quad \dim\operatorname{Im}F=2.

Passo 4

Para obter M_{F}^{\mathcal{Y}} precisamos expressar cada F(y_j) em coordenadas relativas a \mathcal{Y}. Essas coordenadas formam as colunas da matriz.

Passo 5

Calculamos
F(y_1)=F(2,1,0)=(4,3,1).
Procuramos (a,b,c) tais que
a(2,1,0)+b(1,1,0)+c(0,1,1)=(4,3,1),
ou seja
2a+b=4,\quad a+b+c=3,\quad c=1.
Daí c=1, a+b=2, 2a+b=4 \implies a=2, b=0. Logo a primeira coluna é (2,0,1).

Passo 6

Calculamos
F(y_2)=F(1,1,0)=(1,2,-1).
Resolvendo
2a+b=1,\quad a+b+c=2,\quad c=-1
vem c=-1, a+b=3, 2a+b=1 \implies a=-2, b=5. Segunda coluna: (-2,5,-1).

Passo 7

Calculamos
F(y_3)=F(0,1,1)=(-2,2,-4).
Resolvendo
2a+b=-2,\quad a+b+c=2,\quad c=-4
vem c=-4, a+b=6, 2a+b=-2 \implies a=-8, b=14. Terceira coluna: (-8,14,-4).

Passo 8

As colunas obtidas formam
M_{F}^{\mathcal{Y}} =\begin{pmatrix} 2 & -2 & -8\\\\ 0 & 5 & 14\\\\ 1 & -1 & -4 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) \displaystyle \operatorname{Ker}F=\mathrm{span}\{(2,3,-5)\},\;\dim\operatorname{Ker}F=1.\ \displaystyle \operatorname{Im}F=\mathrm{span}\{(3,1,2),(-2,1,-3)\},\;\dim\operatorname{Im}F=2.\
(b) \displaystyle M_{F}^{\mathcal{Y}} =\begin{pmatrix} 2 & -2 & -8\\\\ 0 & 5 & 14\\\\ 1 & -1 & -4 \end{pmatrix}.

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