Exercício 4.8.22. Seja
a aplicação linear tal que
a) Determinar
e
, especificando as dimensões e exibindo respectivas bases.
b) Calcular a matriz representativa
de
com respeito à base
.
b) Calcular a matriz representativa
Passo 1
O enunciado define uma aplicação linear
e pede em (a) núcleo e imagem com dimensões e bases, em (b) a matriz de
na base
com
Usaremos teoria de sistemas lineares para o núcleo e o teorema do núcleo-imagem para a dimensão, e coordenadas em
para a matriz.
Passo 2
Para achar
resolvemos o sistema homogêneo
Da segunda equação vem
. Substituindo na terceira obtém-se a mesma que a primeira, logo resta
Um vetor genérico do núcleo é
Escolhendo
obtemos o gerador
. Assim
Passo 3
Pelo teorema do núcleo-imagem em espaço de dimensão
temos
Para encontrar uma base notamos
Verifica-se que, por exemplo,
e
são linearmente independentes, então
Passo 4
Para obter
precisamos expressar cada
em coordenadas relativas a
. Essas coordenadas formam as colunas da matriz.
Passo 5
Calculamos
Procuramos
tais que
ou seja
Daí
,
,
,
. Logo a primeira coluna é
.
Passo 6
Calculamos
Resolvendo
vem
,
,
,
. Segunda coluna:
.
Passo 7
Calculamos
Resolvendo
vem
,
,
,
. Terceira coluna:
.
Passo 8
As colunas obtidas formam
Resposta
(a)
.\
.\
(b)
(b)