Exercício 23. A anemia pode ser encontrada em 25 \% das crianças em idade escolar, do ensino “maternal”. Suponha que em uma sala seja composta por 20 alunos, responda: Duas crianças são selecionadas,
Sem reposição, qual é a probabilidade de ambas possuírem anemia?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta:
  • A prevalência de anemia é 25\% entre crianças em idade escolar.
  • A sala tem 20 alunos.
  • Duas crianças são selecionadas sem reposição (isto é, a segunda seleção é feita a partir da turma já com uma criança a menos).
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que ambas as crianças selecionadas possuam anemia?

Passo 2

Vamos escolher o método. Aqui há duas maneiras naturais e equivalentes: (A) usar a regra do produto com probabilidades condicionais (método sequencial) ou (B) usar a distribuição hipergeométrica (contagem combinatória). Vou usar primeiro o método sequencial porque é o mais direto e fácil de entender passo a passo; depois mostro a hipergeométrica para confirmar. Antes de calcular, preciso transformar a informação de prevalência em um número concreto na turma: 25\% de 20 alunos é
0{,}25\cdot 20 = 5,
ou seja, assumimos que há exatamente 5 crianças com anemia na sala (isso é a interpretação natural do enunciado).

Passo 3

Explicando a regra que vou usar: para dois eventos sequenciais A (primeira criança tem anemia) e B (segunda criança tem anemia), a probabilidade de ambos ocorrerem sem reposição é dada pela regra do produto
P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\,P(B\mid A),
onde P(B\mid A) é a probabilidade de B ocorrer sabendo que A ocorreu (probabilidade condicional). Aqui:
  • P(A) é a probabilidade de a primeira criança escolhida ter anemia.
  • P(B\mid A) é a probabilidade de a segunda ter anemia dado que a primeira já tem anemia.

Passo 4

Calculemos P(A) e P(B\mid A):
  • 5 crianças com anemia entre 20, então
P(A)=\frac{5}{20} = \frac{1}{4}.
  • Se a primeira escolhida tem anemia, restam 4 crianças com anemia entre os 19 alunos restantes, logo
P(B\mid A)=\frac{4}{19}.
Aplicando a regra do produto:
P(\text{duas com anemia})=P(A)\,P(B\mid A)=\frac{5}{20}\cdot\frac{4}{19}.
Agora simplificamos:
\frac{5}{20}\cdot\frac{4}{19}=\frac{5\cdot4}{20\cdot19}=\frac{20}{380}=\frac{1}{19}.

Passo 5

Para confirmar, uso a abordagem hipergeométrica (contagem combinatória). A fórmula hipergeométrica para obter exatamente k sucessos em n amostras de uma população de tamanho N com K sucessos é
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}.
Aqui N=20, K=5, n=2, k=2. Assim
P(X=2)=\frac{\binom{5}{2}\binom{15}{0}}{\binom{20}{2}}=\frac{10\cdot 1}{190}=\frac{10}{190}=\frac{1}{19},
mesma resposta — confirmação da consistência dos métodos.

Passo 6

Interpretação final em forma percentual e decimal: \dfrac{1}{19} é aproximadamente 0{,}05263, ou seja cerca de 5{,}263\%. Se você estiver nervoso na prova, lembre: raciocínio rápido — primeiro 5/20, depois 4/19, multiplica e simplifica, sai 1/19. Você consegue!

Resposta

\dfrac{1}{19} (aprox. 0{,}05263 ou 5{,}263\%)

Exercícios relacionados