Exercício 23. A anemia pode ser encontrada em
das crianças em idade escolar, do ensino “maternal”. Suponha que em uma sala seja composta por 20 alunos, responda: Duas crianças são selecionadas,
Sem reposição, qual é a probabilidade de ambas possuírem anemia?
Sem reposição, qual é a probabilidade de ambas possuírem anemia?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta:
- A prevalência de anemia é
entre crianças em idade escolar. - A sala tem
alunos. - Duas crianças são selecionadas sem reposição (isto é, a segunda seleção é feita a partir da turma já com uma criança a menos).
- Pergunta: qual é a probabilidade de que ambas as crianças selecionadas possuam anemia?
Passo 2
Vamos escolher o método. Aqui há duas maneiras naturais e equivalentes: (A) usar a regra do produto com probabilidades condicionais (método sequencial) ou (B) usar a distribuição hipergeométrica (contagem combinatória). Vou usar primeiro o método sequencial porque é o mais direto e fácil de entender passo a passo; depois mostro a hipergeométrica para confirmar. Antes de calcular, preciso transformar a informação de prevalência em um número concreto na turma:
de
alunos é
ou seja, assumimos que há exatamente
crianças com anemia na sala (isso é a interpretação natural do enunciado).
Passo 3
Explicando a regra que vou usar: para dois eventos sequenciais
(primeira criança tem anemia) e
(segunda criança tem anemia), a probabilidade de ambos ocorrerem sem reposição é dada pela regra do produto
onde
é a probabilidade de
ocorrer sabendo que
ocorreu (probabilidade condicional). Aqui:
-
é a probabilidade de a primeira criança escolhida ter anemia. -
é a probabilidade de a segunda ter anemia dado que a primeira já tem anemia.
Passo 4
Calculemos
e
:
- Há
crianças com anemia entre , então
- Se a primeira escolhida tem anemia, restam
crianças com anemia entre os alunos restantes, logo
Aplicando a regra do produto:
Agora simplificamos:
Passo 5
Para confirmar, uso a abordagem hipergeométrica (contagem combinatória). A fórmula hipergeométrica para obter exatamente
sucessos em
amostras de uma população de tamanho
com
sucessos é
Aqui
,
,
,
. Assim
mesma resposta — confirmação da consistência dos métodos.
Passo 6
Interpretação final em forma percentual e decimal:
é aproximadamente
, ou seja cerca de
. Se você estiver nervoso na prova, lembre: raciocínio rápido — primeiro
, depois
, multiplica e simplifica, sai
. Você consegue!