Exercício 21. Em uma festa de casamento foram servidos dois tipos de bolos, que se diferenciavam somente se o chocolate era “ao leite” ou “amargo”. Suponha que esta diferença seja possível de se perceber somente após experimentar do bolo. A festa contava com 90 convidados da noiva e 60 do noivo. Dos convidados da noiva, 30 indivíduos perceberam que o bolo era de chocolate “ao leite” e os demais foram contemplados com recheio de chocolate “amargo”. Dos convidados do noivo, 50 perceberam que o bolo era de chocolate “ao leite” e os demais foram contemplados com recheio de chocolate “amargo”. Nesta condição, qual é a probabilidade de sortear um convidado da noiva, sabendo que foi contemplado com chocolate “ao leite”? (R: 0.3740)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade condicional.
- Há
convidados da noiva. - Há
convidados do noivo. - Dos convidados da noiva,
perceberam que o bolo era de chocolate “ao leite” e os demais perceberam “amargo”. - Dos convidados do noivo,
perceberam que o bolo era de chocolate “ao leite” e os demais perceberam “amargo”. - Pergunta: qual é a probabilidade de sortear um convidado da noiva, sabendo que a pessoa sorteada foi contemplada com chocolate “ao leite”?
Passo 2
Primeiro vamos definir eventos e entender a ideia de probabilidade condicional de forma simples e prática.
- Definimos o evento
: “o convidado é da noiva”. - Definimos o evento
: “o convidado percebeu chocolate ao leite”. - A probabilidade condicional que queremos é
: a chance da pessoa ser da noiva dado que ela percebeu ao leite.
Lembrete didático: a probabilidade condicional
é a fração da probabilidade de ocorrerem os dois eventos (interseção) em relação à probabilidade de
. Em fórmula:
Aqui
é a probabilidade de sortear alguém que seja da noiva e tenha percebido ao leite;
é a probabilidade de sortear alguém que percebeu ao leite (independentemente de ser da noiva ou do noivo).
Passo 3
Como temos números absolutos de pessoas, é muitas vezes mais simples trabalhar com contagens (frequências) antes de converter para probabilidades.
- Total de convidados:
. - Convidados da noiva que perceberam ao leite:
. - Convidados do noivo que perceberam ao leite:
. - Total de convidados que perceberam ao leite:
.
Esses 80 são o total de casos favoráveis ao evento
(percebeu ao leite). Entre esses 80,
são da noiva (casos favoráveis a
).
Passo 4
Agora aplicamos a definição de probabilidade condicional usando contagens. A interpretação com frequências diz:
Substituindo os números que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a fração
. Dividimos numerador e denominador por
:
Isso já é uma forma exata e simples da probabilidade.
Passo 6
Se quisermos apresentar em decimal (útil na prova ou para comparar), fazemos a divisão:
Explicando a conta:
cabe
vezes em
(que corresponde a
no lugar decimal) deixando resto
até obter
. Mas o importante é memorizar que
, então
.
Passo 7
Resumo e interpretação intuitiva: entre as
pessoas que notaram o bolo “ao leite”,
eram da noiva e
do noivo. Logo, a chance de, escolhendo aleatoriamente entre quem disse “ao leite”, a pessoa ser da noiva é
em
, ou
(ou
). Isso é um caso direto de aplicação de probabilidade condicional / regra de Bayes em forma simples de frequência.