Exercício 23. A anemia pode ser encontrada em
das crianças em idade escolar, do ensino “maternal”. Suponha que em uma sala seja composta por 20 alunos, responda: Duas crianças são selecionadas,
Com reposição, qual é a probabilidade de ambas não possuírem anemia?
Com reposição, qual é a probabilidade de ambas não possuírem anemia?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
- Informação: a anemia está presente em
das crianças em idade escolar, ou seja, a probabilidade de uma criança escolhida ao acaso ter anemia é . - Informação: numa sala há 20 alunos (essa informação de tamanho da sala não será necessária aqui, pois estamos selecionando duas crianças com reposição).
- Informação: são selecionadas duas crianças com reposição (primeira criança é selecionada, depois ela volta para a população antes da segunda seleção).
- Pergunta: qual é a probabilidade de que ambas as crianças selecionadas não possuam anemia?
Passo 2
Vamos traduzir em eventos e probabilidades simples. Definimos o evento
= “criança tem anemia”. Então, por dado do enunciado,
O evento complementar é "
= criança não tem anemia". Uma propriedade básica de probabilidades é que a probabilidade do complementar é
Isso faz sentido porque ou a criança tem anemia ou não; essas duas possibilidades somam
(ou
). Aplicando ao nosso caso:
Ou seja, a probabilidade de uma criança escolhida ao acaso não ter anemia é
(ou
).
Passo 3
Explicando o que significa “com reposição” e por que isso importa na conta: selecionar com reposição quer dizer que, depois de escolher a primeira criança e observar se tem anemia ou não, ela volta para a população original antes da segunda seleção. Portanto a segunda seleção é feita nas mesmas condições da primeira. Em termos de probabilidade, isso garante que as duas seleções são independentes — o resultado da primeira não altera as probabilidades da segunda.
Para eventos independentes
e
, a regra de multiplicação diz:
Um exemplo rápido e intuitivo: ao lançar uma moeda justa duas vezes, a probabilidade de sair cara nas duas é
. Mesma ideia aqui.
Passo 4
Aplicando a regra de multiplicação ao nosso problema: queremos a probabilidade de “não ter anemia na primeira seleção” e “não ter anemia na segunda seleção”. Esses dois eventos são independentes (por causa da reposição), então
Podemos também ver
como a fração
, então
Fazendo a conta decimal,
Passo 5
Interpretação final: a probabilidade de que, ao selecionar duas crianças com reposição, ambas não possuam anemia é
, que equivale a
ou à fração
. Isso significa que pouco mais da metade das vezes, em experimentos repetidos desse tipo, ambas as crianças escolhidas não teriam anemia. Força aí — esse tipo de conta é bem comum em prova, a chave é lembrar do complemento e da multiplicação para eventos independentes!