Exercício 23. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} 2^{x} x^{\frac{7}{3}} \operatorname{sen}\left(\frac{7}{3 x}\right)+5 \operatorname{sen}\left(\frac{7 x}{3}\right) \csc (5 x)

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to0} 2^{x}x^{\tfrac{7}{3}}\sin\!\bigl(\tfrac{7}{3x}\bigr)\;+\;5\,\sin\!\bigl(\tfrac{7x}{3}\bigr)\csc(5x).
O conteúdo é cálculo de limites envolvendo termo oscilatório amortecido e equivalência de \sin y para y\to0.

Passo 2

Analisando o primeiro termo \displaystyle 2^{x}x^{\tfrac{7}{3}}\sin\!\bigl(\tfrac{7}{3x}\bigr):
como \displaystyle 2^{x}\to1 e \bigl|\sin(7/(3x))\bigr|\le1, temos
\bigl|2^{x}x^{\tfrac{7}{3}}\sin\tfrac{7}{3x}\bigr|\le x^{\tfrac{7}{3}}\to0.
Portanto esse termo vai a 0.

Passo 3

O segundo termo é
5\,\sin\!\bigl(\tfrac{7x}{3}\bigr)\csc(5x) =5\,\frac{\sin(\tfrac{7x}{3})}{\sin(5x)}.
Para x\to0 usamos \sin y\sim y, logo
\frac{\sin(\tfrac{7x}{3})}{\sin(5x)} \sim\frac{\tfrac{7x}{3}}{5x}=\frac{7}{15}
e multiplicando por 5
5\cdot\frac{7}{15}=\frac{7}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{3}

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