Exercício 23. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{3}(x) \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}^{3}(x)\,\operatorname{sen}\bigl(\tfrac1x\bigr)}{x^{2}}.
O conteúdo aqui é limite de função usando desigualdade e o Teorema do Confronto (squeeze), além da equivalência \operatorname{sen}(x)\sim x quando x\to0.

Passo 2

Começamos avaliando o valor absoluto do integrando e usando \bigl|\operatorname{sen}(\tfrac1x)\bigr|\le1:
\left|\frac{\operatorname{sen}^{3}(x)\,\operatorname{sen}\bigl(\tfrac1x\bigr)}{x^{2}}\right| \le\frac{|\operatorname{sen}^{3}(x)|}{x^{2}} =\Bigl|\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\Bigr|^{2}\,|\operatorname{sen}(x)| \le1\cdot|\operatorname{sen}(x)|.

Passo 3

Como |\operatorname{sen}(x)|\le|x| e \lim_{x\to0}|x|=0, pelo Teorema do Confronto temos
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}^{3}(x)\,\operatorname{sen}\bigl(\tfrac1x\bigr)}{x^{2}}=0.

Resposta

0

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