Exercício 22. Se f(x)= \begin{cases}x^{2} & \text { se } x \text { é racional } \\\\ 0 & \text { se } x \text { é irracional }\end{cases} prove que \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0.
Passo 1
O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}, &\text{se }x\text{ é racional},\\\\ 0,&\text{se }x\text{ é irracional}, \end{cases}éé
e pede para mostrar que \lim_{x\to0}f(x)=0. Vamos usar a definição de limite via condição \varepsilon
obreakdash–\delta: para cada \varepsilon>0 precisamos encontrar \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-0|<\delta, resulte |f(x)-0|<\varepsilon.
Passo 2
Seja arbitrário \varepsilon>0. Definimos \delta=\sqrt{\varepsilon}. Agora, suponha 0<|x|<\delta. Existem dois casos: