Exercício 12. O que há de errado com o seguinte raciocínio?
“O \quad \lim _{x \rightarrow 4}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{x-4}\right) \quad é zero pois \lim _{x \rightarrow 4}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\right)^{x}=0 e aplica-se a Lei do Produto”. Verifique que, na verdade, o limite é -\frac{1}{16}.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to4}\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\Bigr)\,\frac{1}{x-4}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites e a Lei do Produto de limites, que só vale quando cada um dos limites existe e é finito.

Passo 2

O raciocínio está errado porque se tentou usar a Lei do Produto dizendo que
\lim_{x\to4}\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\Bigr)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to4}\frac{1}{x-4}=0,
mas o segundo limite \lim_{x\to4}\frac{1}{x-4} não existe (tende a +\infty pela direita e a -\infty pela esquerda). Logo formamos uma indeterminação do tipo 0\cdot\infty, e não podemos simplesmente multiplicar os limites.

Passo 3

Para resolver corretamente, fazemos manipulação algébrica antes de tomar o limite. Primeiro, somamos as frações de \frac{1}{x}-\frac{1}{4}:
\frac{1}{x}-\frac{1}{4} =\frac{4 - x}{4x}.

Passo 4

Substituindo no produto, obtemos
\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\Bigr)\frac{1}{x-4} =\frac{4-x}{4x}\;\frac{1}{x-4} =\frac{4-x}{4x\,(x-4)}.
Como 4-x=-(x-4), isso vira
\frac{4-x}{4x\,(x-4)} =\frac{-(x-4)}{4x\,(x-4)} =-\frac{1}{4x}.
Agora o limite é direto:

Passo 5

\lim_{x\to4}\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{4}\Bigr)\frac{1}{x-4} =\lim_{x\to4}\Bigl(-\frac{1}{4x}\Bigr) =-\frac{1}{4\cdot 4} =-\frac{1}{16}.

Resposta

-\frac{1}{16}.

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