Exercício 12. O que há de errado com o seguinte raciocínio?
“O
é zero pois
e aplica-se a Lei do Produto”. Verifique que, na verdade, o limite é
.
“O
Passo 1
O enunciado pede o valor de
O conteúdo envolvido é cálculo de limites e a Lei do Produto de limites, que só vale quando cada um dos limites existe e é finito.
Passo 2
O raciocínio está errado porque se tentou usar a Lei do Produto dizendo que
mas o segundo limite
não existe (tende a
pela direita e a
pela esquerda). Logo formamos uma indeterminação do tipo
, e não podemos simplesmente multiplicar os limites.
Passo 3
Para resolver corretamente, fazemos manipulação algébrica antes de tomar o limite. Primeiro, somamos as frações de
:
Passo 4
Substituindo no produto, obtemos
Como
, isso vira
Agora o limite é direto: