Exercício 23. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{sen}(4 x) \cot (\sqrt{2} x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0}\sin(4x)\,\cot\bigl(\sqrt{2}\,x\bigr).
Isso envolve limites trigonométricos básicos para pequenos argumentos, em que usaremos a identidade \cot u = \frac{\cos u}{\sin u} e o limite standard
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Reescrevendo \cot em termos de \cos e \sin, temos
\sin(4x)\,\cot\bigl(\sqrt{2}x\bigr) =\sin(4x)\,\frac{\cos(\sqrt{2}x)}{\sin(\sqrt{2}x)} =\frac{\sin(4x)}{\sin(\sqrt{2}x)}\;\cos(\sqrt{2}x).

Passo 3

Para tratar o quociente \frac{\sin(4x)}{\sin(\sqrt{2}x)}, escrevemos
\frac{\sin(4x)}{\sin(\sqrt{2}x)} =\frac{\sin(4x)}{4x}\;\cdot\;\frac{4x}{\sqrt{2}\,x}\;\cdot\;\frac{\sqrt{2}\,x}{\sin(\sqrt{2}x)}.

Passo 4

Agora aplicamos os limites conhecidos para x\to0:
  1. \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(4x)}{4x}=1.
  2. \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{2}\,x}{\sin(\sqrt{2}x)}=1.
  3. \displaystyle\lim_{x\to0}\cos(\sqrt{2}x)=1.
  4. O fator \displaystyle\frac{4x}{\sqrt{2}\,x}=\frac{4}{\sqrt{2}} independe de x.
Multiplicando tudo:
\lim_{x\to0}\frac{\sin(4x)}{\sin(\sqrt{2}x)}\;\cos(\sqrt{2}x) =1\;\times\;\frac{4}{\sqrt{2}}\;\times\;1\;\times\;1 =\frac{4}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Simplificando \frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}, obtemos o valor do limite.

Resposta

O limite vale 2\sqrt{2}.

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