Faça um exercício envolvendo uma mudança de variáveis qualquer em uma Integral Dupla. Calcule o Determinante da Matriz Jacobiana dessa mudança de variáveis.

Passo 1

Vamos considerar o seguinte exercício de mudança de variáveis em integral dupla. Queremos avaliar
I = \iint_{R}(x+y)\,dA,
onde R é o paralelogramo de vértices (0,0), (2,1), (3,4) e (1,3). Para simplificar o cálculo, usamos a transformação linear
x = 2u + v,\quad y = u + 2v
que leva a região S = \{(u,v)\mid 0\le u\le1,\;0\le v\le1\} no plano uv em R no plano xy. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas e, em particular, precisamos calcular o determinante da matriz jacobiana dessa transformação.

Passo 2

Construímos a matriz jacobiana da transformação (u,v)\mapsto(x,y):
J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\[6pt] 1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos o determinante de J:
\det(J) = 2\cdot 2 \;-\;1\cdot1 =4-1 =3.
Esse valor, em módulo, ajusta o elemento de área: dA = |\det(J)|\,du\,dv = 3\,du\,dv.

Passo 4

Expressamos a soma x+y em função de u,v:
x+y = (2u+v)+(u+2v)=3u+3v.
Logo a integral vira
I = \int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}(3u+3v)\,\bigl(3\,dv\,du\bigr) =9\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}(u+v)\,dv\,du.

Passo 5

Integramos primeiro em v:
\int_{0}^{1}(u+v)\,dv =\Bigl[\,u\,v + \tfrac{v^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} = u + \tfrac12.
Portanto
I = 9\int_{0}^{1}\Bigl(u + \tfrac12\Bigr)\,du =9\Bigl[\tfrac{u^{2}}{2} + \tfrac{u}{2}\Bigr]_{0}^{1} =9\bigl(\tfrac12+\tfrac12\bigr) =9.

Resposta

O determinante da matriz jacobiana é 3 e o valor da integral é 9.

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