Faça um exercício envolvendo uma mudança de variáveis qualquer em uma Integral Dupla. Calcule o Determinante da Matriz Jacobiana dessa mudança de variáveis.
Passo 1
Vamos considerar o seguinte exercício de mudança de variáveis em integral dupla. Queremos avaliar
I = \iint_{R}(x+y)\,dA,
onde R é o paralelogramo de vértices (0,0), (2,1), (3,4) e (1,3). Para simplificar o cálculo, usamos a transformação linear
x = 2u + v,\quad y = u + 2v
que leva a região S = \{(u,v)\mid 0\le u\le1,\;0\le v\le1\} no plano uv em R no plano xy. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas e, em particular, precisamos calcular o determinante da matriz jacobiana dessa transformação.
Passo 2
Construímos a matriz jacobiana da transformação (u,v)\mapsto(x,y):