Exercício 23. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} x \cot 3 x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite \displaystyle \lim_{x\to0} x\cot(3x).
O conteúdo aqui é limites que envolvem funções trigonométricas, e vamos usar o limite fundamental \displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u}=1.

Passo 2

Escrevemos a expressão em termos de seno e cosseno e isolemos uma razão do tipo u/\sin(u):
x\cot(3x) = x\frac{\cos(3x)}{\sin(3x)} = \cos(3x)\,\frac{x}{\sin(3x)}.
Para aplicar o limite fundamental, note que
\frac{x}{\sin(3x)} = \frac{1}{3}\,\frac{3x}{\sin(3x)}.

Passo 3

Agora tomamos o limite de cada fator que sobrou:
\lim_{x\to0}\cos(3x)=1, \qquad \lim_{x\to0}\frac{3x}{\sin(3x)}=1.
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\lim_{x\to0}x\cot(3x) = \lim_{x\to0}\Bigl[\cos(3x)\cdot\frac{1}{3}\,\frac{3x}{\sin(3x)}\Bigr] = 1\cdot\frac{1}{3}\cdot1 = \frac{1}{3}.

Resposta

\tfrac{1}{3}

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