Questão 6 [1 ponto] Faça a mudança de variável v:=\frac{d y}{d x} para reduzir a ordem da seguinte EDO
y^{\prime \prime}=2 y\left(y^{\prime}\right)^{2}
E determine a relação entre v e y.

Passo 1

O enunciado pede para usar a mudança de variável \displaystyle v := \frac{dy}{dx}
na EDO de segunda ordem
y'' = 2\,y\,(y')^2
para reduzir a ordem. O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia:
y'' = \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dx} = v\,\frac{dv}{dy}.

Passo 2

Substituindo y''=v\,\tfrac{dv}{dy} e y'=v na EDO, fica
v\,\frac{dv}{dy} = 2\,y\,v^{2}.

Passo 3

Assumindo v\neq0, dividimos por v para obter uma EDO de primeira ordem separável:
\frac{dv}{dy} = 2\,y\,v.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
\frac{1}{v}\,dv = 2\,y\,dy \quad\Longrightarrow\quad \int \frac{1}{v}\,dv = \int 2\,y\,dy \;\;\Longrightarrow\;\; \ln|v| = y^{2} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Elevando exponencialmente e definindo K = e^{C}, obtemos
|v| = K\,e^{y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad v = K\,e^{y^{2}},
onde o sinal de K pode absorver o valor absoluto.

Resposta

v = K\,e^{y^{2}},
com K constante de integração.

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