Exercício 23. Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 5 x-\operatorname{sen} 3 x}{\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(5x)-\operatorname{sen}(3x)}{\operatorname{sen} x}.
Aqui usamos conteúdo de limites de funções trigonométricas e uma identidade de soma e diferença de senos para simplificar a expressão antes de aplicar a continuidade.

Passo 2

Aplicamos a identidade de diferença de senos:
\operatorname{sen} A - \operatorname{sen} B = 2 \cos\Bigl(\frac{A+B}{2}\Bigr)\,\operatorname{sen}\Bigl(\frac{A-B}{2}\Bigr).
Neste caso, A=5x e B=3x.

Passo 3

Substituindo A e B na identidade, o numerador vira
\operatorname{sen}(5x)-\operatorname{sen}(3x) =2\cos\Bigl(\frac{5x+3x}{2}\Bigr)\,\operatorname{sen}\Bigl(\frac{5x-3x}{2}\Bigr) =2\cos(4x)\,\operatorname{sen}(x).
Logo a fração se torna
\frac{\operatorname{sen}(5x)-\operatorname{sen}(3x)}{\operatorname{sen} x} =\frac{2\cos(4x)\,\operatorname{sen}(x)}{\operatorname{sen} x} =2\cos(4x), \quad x\neq0.

Passo 4

Agora basta usar a continuidade de \cos em x=0:
\lim_{x\to0}2\cos(4x) =2\cos(0) =2\cdot1 =2.

Resposta

2

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