Exercício 4.23 Considere uma caixa cilíndrica de seção circular e volume fixo V_{0}=100 \mathrm{~cm}^{3}. O custo do material utilizado na face lateral da caixa é 2 reais / \mathrm{cm}^{2} e o material utilizado na base e a tampa da caixa é 3 reais / \mathrm{cm}^{2}. Determine as dimensões da caixa para que o custo total do material utilizado seja o mínimo possível.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados fornecidos:
    • Volume fixo da caixa: V_{0}=100\\ \mathrm{cm}^{3}.
    • A caixa é um cilindro de raio da base r e altura h (variáveis a determinar).
    • Área lateral do cilindro custa 2 reais por \mathrm{cm}^{2}.
    • Área da base e da tampa custa 3 reais por \mathrm{cm}^{2}.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar as dimensões da caixa (ou seja, o raio r da base e a altura h) que minimizam o custo total do material, sujeitas à restrição de volume V_{0}=100\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Informações geométricas que vamos usar (apenas listadas aqui; a aplicação vem nos próximos passos):
    • Área lateral do cilindro: \text{Área}_{\text{lat}}=2\pi r hÁ.
    • Área de cada base: \text{Área}_{\text{base}}=\pi r^{2}Á. Como há duas (tampa e fundo), a área total das bases é 2\pi r^{2}.
    • Volume do cilindro: V=\pi r^{2} h. Neste problema V=V_{0}.

Passo 2

Definir variáveis e montar expressão do custo total.
  • Variáveis:
    • r = raio da base em \mathrm{cm} (com r>0).
    • h = altura em \mathrm{cm} (com h>0).
  • Cálculo das áreas (lembrando as fórmulas listadas no Passo 1):
    • Área lateral: A_{\text{lat}}=2\pi r h.
    • Área das duas bases: A_{\text{bases}}=2\pi r^{2}.
  • Custos por área:
    • Custo lateral por \mathrm{cm}^{2}: 2 reais.
    • Custo das bases por \mathrm{cm}^{2}: 3 reais.
  • Montando o custo total C(r,h) (produto de área pelo preço por área):
    C(r,h)=\underbrace{2\cdot A_{\text{lat}}}_{\text{custo lateral}}+\underbrace{3\cdot A_{\text{bases}}}_{\text{custo bases}}
    Substituindo as áreas:
    C(r,h)=2\cdot(2\pi r h)+3\cdot(2\pi r^{2}).
    Simplificando:
    C(r,h)=4\pi r h + 6\pi r^{2}.
Aqui cada termo tem sentido: 4\pi r h é o custo da lateral (área 2\pi r h vezes R$2), e 6\pi r^{2} é o custo das duas bases (área 2\pi r^{2} vezes R$3).

Passo 3

Usar a restrição de volume para eliminar uma variável.
  • Relação do volume: V_{0}=\pi r^{2} h.Como V_{0} é conhecido, podemos isolar h: h=\frac{V_{0}}{\pi r^{2}}.Essa expressão nos permite escrever o custo total apenas em função de r, transformando o problema numa minimização de função de uma variável.

Passo 4

Substituir h em C(r,h) e obter C(r).
  • Substituindo h=\dfrac{V_{0}}{\pi r^{2}} em C(r,h)=4\pi r h + 6\pi r^{2},obtemos C(r)=4\pi r\cdot\frac{V_{0}}{\pi r^{2}} + 6\pi r^{2}.
  • Simplificando o primeiro termo (observe que \pi cancela e um r simplifica): C(r)=\frac{4V_{0}}{r} + 6\pi r^{2}.Agora C é uma função de r apenas, válida para r>0. Nosso objetivo é encontrar o r>0 que minimiza essa função.

Passo 5

Explicar a estratégia de minimização e calcular a derivada.
  • Ideia: para minimizar uma função diferenciável de uma variável, procuramos pontos críticos onde a derivada é zero e verificamos se são mínimos (teste da segunda derivada). Aqui C(r) é diferenciável para r>0.
  • Calcule a derivada C'(r). Lembre que a derivada de r^{-1} é -r^{-2} e a derivada de r^{2} é 2r. Assim:
    C'(r) = \frac{d}{dr}\!\left(\frac{4V_{0}}{r} + 6\pi r^{2}\right) = -\frac{4V_{0}}{r^{2}} + 12\pi r.
  • Igualar a zero para achar pontos críticos:
    -\frac{4V_{0}}{r^{2}} + 12\pi r = 0.
    Isolando:
    12\pi r = \frac{4V_{0}}{r^{2}}.
    Multiplicando ambos os lados por r^{2}:
    12\pi r^{3} = 4V_{0}.
    Dividindo por 4:
    3\pi r^{3} = V_{0}.
    Portanto
    r^{3} = \frac{V_{0}}{3\pi}.

Passo 6

Encontrar r numericamente e deduzir h de forma simples.
  • Raio em forma fechada:
    r=\left(\frac{V_{0}}{3\pi}\right)^{1/3}.
  • Substituindo V_{0}=100\\ \mathrm{cm}^{3} para obter aproximação numérica:
    • Calcular 3\pi \approx 9{,}42477796.
    • Então \dfrac{V_{0}}{3\pi}=\dfrac{100}{3\pi}\approx 10{,}612.
    • A raiz cúbica de 10{,}612 é aproximadamente 2{,}197.
      Assim
    r \approx 2{,}197\\ \mathrm{cm}.
  • Agora calcular h. Podemos usar a relação do volume:
    h=\frac{V_{0}}{\pi r^{2}}.
    Mas também note uma consequência elegante da equação 3\pi r^{3}=V_{0}: comparar com V_{0}=\pi r^{2} h
    \pi r^{2} h = 3\pi r^{3}\quad\Rightarrow\quad h=3r.
    Ou seja, na configuração ótima a altura é três vezes o raio — uma relação rápida que vale sempre que os preços e o volume forem como dados.
  • Portanto numericamente:
    h = 3r \approx 3\cdot 2{,}197 \approx 6{,}591\\ \mathrm{cm}.

Passo 7

Verificar que o ponto crítico é mínimo (teste da segunda derivada).
  • Calcule C''(r). Da derivada C'(r)=-\dfrac{4V_{0}}{r^{2}}+12\pi r, tem-se: C''(r)=\frac{8V_{0}}{r^{3}} + 12\pi.
  • Para todo r>0 temos C''(r)>0, pois ambos os termos são positivos. Logo C é convexa e o ponto crítico encontrado é de fato um mínimo global (no domínio r>0).

Passo 8

Resumo final e interpretação intuitiva (rápida e motivadora).
  • Resultado chave em forma exata: r=\left(\frac{V_{0}}{3\pi}\right)^{1/3},\qquad h=3r.
  • Para V_{0}=100\\ \mathrm{cm}^{3} isso dá aproximadamente r\approx2{,}197\\ \mathrm{cm} e h\approx6{,}591\\ \mathrm{cm}.
  • Observação prática: a relação h=3r saiu naturalmente das condições de otimização — é uma dica útil para fazer conta rápida em problemas parecidos.

Resposta

r=\left(\dfrac{100}{3\pi}\right)^{1/3}\approx 2{,}197\\ \mathrm{cm}
h=3r\approx 6{,}591\\ \mathrm{cm}

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