Exercício 4.23 Considere uma caixa cilíndrica de seção circular e volume fixo V_{0}=100 \mathrm{~cm}^{3}. O custo do material utilizado na face lateral da caixa é 2 reais / \mathrm{cm}^{2} e o material utilizado na base e a tampa da caixa é 3 reais / \mathrm{cm}^{2}. Determine as dimensões da caixa para que o custo total do material utilizado seja o mínimo possível.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Dados fornecidos:
Volume fixo da caixa: V_{0}=100\\ \mathrm{cm}^{3}.
A caixa é um cilindro de raio da base r e altura h (variáveis a determinar).
Área lateral do cilindro custa 2 reais por \mathrm{cm}^{2}.
Área da base e da tampa custa 3 reais por \mathrm{cm}^{2}.
O que o enunciado pede:
Determinar as dimensões da caixa (ou seja, o raio r da base e a altura h) que minimizam o custo total do material, sujeitas à restrição de volume V_{0}=100\\ \mathrm{cm}^{3}.
Informações geométricas que vamos usar (apenas listadas aqui; a aplicação vem nos próximos passos):
Área lateral do cilindro: \text{Área}_{\text{lat}}=2\pi r h.
Área de cada base: \text{Área}_{\text{base}}=\pi r^{2}. Como há duas (tampa e fundo), a área total das bases é 2\pi r^{2}.
Volume do cilindro: V=\pi r^{2} h. Neste problema V=V_{0}.
Passo 2
Definir variáveis e montar expressão do custo total.
Variáveis:
r = raio da base em \mathrm{cm} (com r>0).
h = altura em \mathrm{cm} (com h>0).
Cálculo das áreas (lembrando as fórmulas listadas no Passo 1):
Área lateral: A_{\text{lat}}=2\pi r h.
Área das duas bases: A_{\text{bases}}=2\pi r^{2}.
Custos por área:
Custo lateral por \mathrm{cm}^{2}: 2 reais.
Custo das bases por \mathrm{cm}^{2}: 3 reais.
Montando o custo total C(r,h) (produto de área pelo preço por área):
Aqui cada termo tem sentido: 4\pi r h é o custo da lateral (área 2\pi r h vezes R$2), e 6\pi r^{2} é o custo das duas bases (área 2\pi r^{2} vezes R$3).
Passo 3
Usar a restrição de volume para eliminar uma variável.
Relação do volume:V_{0}=\pi r^{2} h.Como V_{0} é conhecido, podemos isolar h:h=\frac{V_{0}}{\pi r^{2}}.Essa expressão nos permite escrever o custo total apenas em função de r, transformando o problema numa minimização de função de uma variável.
Passo 4
Substituir h em C(r,h) e obter C(r).
Substituindo h=\dfrac{V_{0}}{\pi r^{2}} emC(r,h)=4\pi r h + 6\pi r^{2},obtemosC(r)=4\pi r\cdot\frac{V_{0}}{\pi r^{2}} + 6\pi r^{2}.
Simplificando o primeiro termo (observe que \pi cancela e um r simplifica):C(r)=\frac{4V_{0}}{r} + 6\pi r^{2}.Agora C é uma função de r apenas, válida para r>0. Nosso objetivo é encontrar o r>0 que minimiza essa função.
Passo 5
Explicar a estratégia de minimização e calcular a derivada.
Ideia: para minimizar uma função diferenciável de uma variável, procuramos pontos críticos onde a derivada é zero e verificamos se são mínimos (teste da segunda derivada). Aqui C(r) é diferenciável para r>0.
Calcule a derivada C'(r). Lembre que a derivada de r^{-1} é -r^{-2} e a derivada de r^{2} é 2r. Assim:
Encontrar r numericamente e deduzir h de forma simples.
Raio em forma fechada:
r=\left(\frac{V_{0}}{3\pi}\right)^{1/3}.
Substituindo V_{0}=100\\ \mathrm{cm}^{3} para obter aproximação numérica:
Calcular 3\pi \approx 9{,}42477796.
Então \dfrac{V_{0}}{3\pi}=\dfrac{100}{3\pi}\approx 10{,}612.
A raiz cúbica de 10{,}612 é aproximadamente 2{,}197.
Assim
r \approx 2{,}197\\ \mathrm{cm}.
Agora calcular h. Podemos usar a relação do volume:
h=\frac{V_{0}}{\pi r^{2}}.
Mas também note uma consequência elegante da equação 3\pi r^{3}=V_{0}: comparar com V_{0}=\pi r^{2} h dá
\pi r^{2} h = 3\pi r^{3}\quad\Rightarrow\quad h=3r.
Ou seja, na configuração ótima a altura é três vezes o raio — uma relação rápida que vale sempre que os preços e o volume forem como dados.
Portanto numericamente:
h = 3r \approx 3\cdot 2{,}197 \approx 6{,}591\\ \mathrm{cm}.
Passo 7
Verificar que o ponto crítico é mínimo (teste da segunda derivada).
Calcule C''(r). Da derivada C'(r)=-\dfrac{4V_{0}}{r^{2}}+12\pi r, tem-se:C''(r)=\frac{8V_{0}}{r^{3}} + 12\pi.
Para todo r>0 temos C''(r)>0, pois ambos os termos são positivos. Logo C é convexa e o ponto crítico encontrado é de fato um mínimo global (no domínio r>0).
Passo 8
Resumo final e interpretação intuitiva (rápida e motivadora).
Resultado chave em forma exata:r=\left(\frac{V_{0}}{3\pi}\right)^{1/3},\qquad h=3r.
Para V_{0}=100\\ \mathrm{cm}^{3} isso dá aproximadamente r\approx2{,}197\\ \mathrm{cm} e h\approx6{,}591\\ \mathrm{cm}.
Observação prática: a relação h=3r saiu naturalmente das condições de otimização — é uma dica útil para fazer conta rápida em problemas parecidos.