Exercício 4.7 Um fazendeiro pretende construir dois cercados retangulares idênticos com 180 metros de cerca; considerando que os cercados tenham um lado em comum, quais são as dimensões que devem ter para que a área cercada seja máxima ? Qual é a área máxima?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas (peguei esses dados do enunciado):
  • O fazendeiro tem 180 metros de cerca disponíveis para construir dois cercados retangulares idênticos que têm um lado em comum.
  • Perguntas:
    1. Quais devem ser as dimensões de cada cercado para que a área total cercada seja máxima?
    2. Qual é a área máxima obtida?

Passo 2

Vamos introduzir variáveis claras (sempre faça isto na prova para não se confundir):
  • Seja x a largura de cada retângulo (distância horizontal de cada cercado).
  • Seja y a altura de cada retângulo (distância vertical de cada cercado).
    Desenhe mentalmente dois retângulos idênticos lado a lado, unidos por um lado vertical comum. Assim:
  • Existem três trechos verticais de cerca, cada um de comprimento y (lado esquerdo, lado comum/central, lado direito) — total 3y.
  • Existem dois trechos horizontais na parte superior e dois na parte inferior, cada um de comprimento x (porque são dois retângulos lado a lado) — total 4x.

Passo 3

Escrevendo a restrição do comprimento total de cerca (peguei o valor 180 m do enunciado):
3y + 4x = 180.
Essa equação representa a soma de todos os trechos de cerca que serão construídos.

Passo 4

Expressar a área total em função de x e y. Cada retângulo tem área xy, há dois retângulos, então a área total é
A = 2xy.
Para obter uma função de uma única variável, isolamos y na equação do perímetro:
y = \frac{180 - 4x}{3}.

Passo 5

Substituindo y em A para obter A apenas em função de x:
A(x) = 2x\cdot\frac{180 - 4x}{3}.
Vamos simplificar essa expressão:
A(x) = \frac{2x(180) - 2x(4x)}{3} = \frac{360x - 8x^{2}}{3}.
Ou, escrevendo de forma mais clara,
A(x) = \frac{-8x^{2} + 360x}{3}.

Passo 6

Agora precisamos maximizar A(x). Dois caminhos comuns: completar o quadrado (álgebra) ou derivar e procurar pontos críticos (cálculo). Vou usar derivada porque é direto e fácil de justificar: um ponto crítico onde a derivada é zero pode ser máximo ou mínimo; confirmamos com a segunda derivada. (Se preferir, completar o quadrado dá o mesmo resultado.)
Calcule a derivada de A(x) em relação a x. Como as operações são lineares,
A'(x) = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{-8x^{2} + 360x}{3}\right) = \frac{-16x + 360}{3}.

Passo 7

Determinar o ponto crítico resolvendo A'(x)=0:
\frac{-16x + 360}{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad -16x + 360 = 0.
Resolve-se:
16x = 360 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{360}{16} = 22{,}5.
Portanto x = 22{,}5 metros.

Passo 8

Encontrar y usando a relação do perímetro:
y = \frac{180 - 4x}{3} = \frac{180 - 4\cdot 22{,}5}{3}.
Calcule passo a passo:
4\cdot 22{,}5 = 90,
180 - 90 = 90,
y = \frac{90}{3} = 30.
Logo y = 30 metros.

Passo 9

Verificação de máximo: calcular a segunda derivada para confirmar que é um máximo.
A''(x) = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{-16x + 360}{3}\right) = \frac{-16}{3}.
Como A''(x) = -\dfrac{16}{3} < 0, a função é côncava para baixo e o ponto crítico é, de fato, um máximo.

Passo 10

Calcular a área máxima total correspondente a x=22{,}5 e y=30:
A_{\max} = 2xy = 2\cdot 22{,}5 \cdot 30.
Compute:
22{,}5\cdot 30 = 675,
2\cdot 675 = 1350.
Portanto a área máxima é 1350 metros quadrados.

Passo 11

Interpretação final e dica para a prova: cada cercado deve ter 22{,}5 m de largura e 30 m de altura (ou seja, 22{,}5 m por 30 m). Verifique sempre a contagem de trechos de cerca ao montar a equação do perímetro — esse passo é onde muita gente erra. Você também pode resolver sem derivada completando o quadrado em A(x); o resultado será o mesmo.

Resposta

Cada cercado: \;22{,}5\\ \text{m} por \;30\\ \text{m}
Área máxima total: \;1350\\ \text{m}^{2}

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