Exercício 4.7 Um fazendeiro pretende construir dois cercados retangulares idênticos com 180 metros de cerca; considerando que os cercados tenham um lado em comum, quais são as dimensões que devem ter para que a área cercada seja máxima ? Qual é a área máxima?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas (peguei esses dados do enunciado):
- O fazendeiro tem
metros de cerca disponíveis para construir dois cercados retangulares idênticos que têm um lado em comum. - Perguntas:
- Quais devem ser as dimensões de cada cercado para que a área total cercada seja máxima?
- Qual é a área máxima obtida?
Passo 2
Vamos introduzir variáveis claras (sempre faça isto na prova para não se confundir):
- Seja
a largura de cada retângulo (distância horizontal de cada cercado). - Seja
a altura de cada retângulo (distância vertical de cada cercado).
Desenhe mentalmente dois retângulos idênticos lado a lado, unidos por um lado vertical comum. Assim: - Existem três trechos verticais de cerca, cada um de comprimento
(lado esquerdo, lado comum/central, lado direito) — total . - Existem dois trechos horizontais na parte superior e dois na parte inferior, cada um de comprimento
(porque são dois retângulos lado a lado) — total .
Passo 3
Escrevendo a restrição do comprimento total de cerca (peguei o valor
m do enunciado):
Essa equação representa a soma de todos os trechos de cerca que serão construídos.
Passo 4
Expressar a área total em função de
e
. Cada retângulo tem área
, há dois retângulos, então a área total é
Para obter uma função de uma única variável, isolamos
na equação do perímetro:
Passo 5
Substituindo
em
para obter
apenas em função de
:
Vamos simplificar essa expressão:
Ou, escrevendo de forma mais clara,
Passo 6
Agora precisamos maximizar
. Dois caminhos comuns: completar o quadrado (álgebra) ou derivar e procurar pontos críticos (cálculo). Vou usar derivada porque é direto e fácil de justificar: um ponto crítico onde a derivada é zero pode ser máximo ou mínimo; confirmamos com a segunda derivada. (Se preferir, completar o quadrado dá o mesmo resultado.)
Calcule a derivada de
em relação a
. Como as operações são lineares,
Passo 7
Determinar o ponto crítico resolvendo
:
Resolve-se:
Portanto
metros.
Passo 8
Encontrar
usando a relação do perímetro:
Calcule passo a passo:
Logo
metros.
Passo 9
Verificação de máximo: calcular a segunda derivada para confirmar que é um máximo.
Como
, a função é côncava para baixo e o ponto crítico é, de fato, um máximo.
Passo 10
Calcular a área máxima total correspondente a
e
:
Compute:
Portanto a área máxima é
metros quadrados.
Passo 11
Interpretação final e dica para a prova: cada cercado deve ter
m de largura e
m de altura (ou seja,
m por
m). Verifique sempre a contagem de trechos de cerca ao montar a equação do perímetro — esse passo é onde muita gente erra. Você também pode resolver sem derivada completando o quadrado em
; o resultado será o mesmo.
Resposta
Cada cercado:
por
Área máxima total:
Área máxima total: