Exercício 4.10 Determine a menor distância do ponto (1,-1,1) á esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a menor distância do ponto (1,-1,1) à esfera dada por \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • O ponto P é \,P=(1,-1,1).
  • A esfera tem equação \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, ou seja, é uma esfera centrada na origem O=(0,0,0) com raio \,r=2.
A pergunta concreta é: qual é a menor distância (um número não-negativo) entre o ponto P e qualquer ponto da superfície da esfera?

Passo 2

Plano para resolver (sem começar a calcular ainda): para achar a menor distância do ponto P à esfera vamos comparar a distância de P ao centro O com o raio \,r. Intuitivamente:
  • Se OP\ge r (ponto fora ou sobre a esfera), a menor distância da superfície é OP-r.
  • Se OP<r (ponto dentro da esfera), a menor distância é r-OP.
Vou demonstrar e justificar isso de forma rigorosa usando vetores e produto escalar, mostrando também por que a direção radial (linha que liga O a P) é a que dá a menor distância.

Passo 3

Calcular a distância do ponto P ao centro O. A distância OP é a norma do vetor \,P, que se calcula somando os quadrados das coordenadas e tirando raiz quadrada:
OP=\|P\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.
Portanto \,OP=\sqrt{3}.

Passo 4

Comparar \,OP com o raio \,r=2. Como \sqrt{3}\approx1,732 e \,2> \sqrt{3}, concluímos que P está dentro da esfera (ou seja, OP<r). Assim esperamos que a menor distância seja \,r-OP. Agora vamos provar isso de maneira geral (e calcular exatamente).

Passo 5

Prova detalhada (minimização usando produto escalar).
Seja X=(x,y,z) um ponto qualquer da esfera, isto é, \|X\|=2. A distância ao quadrado de X até P é
\|X-P\|^{2}=\|X\|^{2}+\|P\|^{2}-2\,X\cdot P.
Aqui \|X\| é a norma (distância ao centro), \|P\| é \sqrt{3} que já calculei, e X\cdot P é o produto escalar entre os vetores X e P.
Como \|X\|=2 e \|P\|=\sqrt{3}, temos
\|X-P\|^{2}=4+3-2\,X\cdot P=7-2\,X\cdot P.
Para minimizar \|X-P\|^{2} em relação a X na esfera precisamos maximizar X\cdot P sujeito a \|X\|=2.
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz vale
X\cdot P \le \|X\|\,\|P\| = 2\sqrt{3},
e a igualdade ocorre quando X é paralelo a P e tem mesma direção — isto é, quando X está na linha que sai do centro O em direção a P. Portanto o máximo possível de X\cdot P é 2\sqrt{3}.
Substituindo esse máximo em \|X-P\|^{2} obtemos o mínimo:
\|X-P\|_{\min}^{2}=7-2\cdot(2\sqrt{3})=7-4\sqrt{3}.
Logo a menor distância é
\|X-P\|_{\min}=\sqrt{7-4\sqrt{3}}.

Passo 6

Simplificar a expressão \sqrt{7-4\sqrt{3}}. Observando que
(2-\sqrt{3})^{2}=4+3-4\sqrt{3}=7-4\sqrt{3},
temos que
\sqrt{7-4\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}.
Isto coincide com a razão geométrica esperada: como P está dentro da esfera, a menor distância da superfície é \,r-OP=2-\sqrt{3}.
Se quiser uma aproximação numérica, \sqrt{3}\approx1,732, então
2-\sqrt{3}\approx0,268.

Passo 7

Interpretação geométrica rápida (para fixar a ideia): a menor distância do ponto P à esfera ocorre seguindo a linha reta do ponto até o centro O — é o ponto da esfera que fica sobre o mesmo raio que passa por P. Se o ponto estiver dentro, a distância é a diferença entre o raio e a distância ao centro; se estiver fora, é a diferença entre a distância ao centro e o raio. Aqui P está dentro, então a diferença é 2-\sqrt{3}. Vai dar tudo certo na prova — anota essa técnica: calcular \|P\| e comparar com o raio!

Resposta

2-\sqrt{3}

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