Exercício 4.10 Determine a menor distância do ponto
á esfera
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a menor distância do ponto
à esfera dada por
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- O ponto
é . - A esfera tem equação
, ou seja, é uma esfera centrada na origem com raio .
A pergunta concreta é: qual é a menor distância (um número não-negativo) entre o ponto
e qualquer ponto da superfície da esfera?
Passo 2
Plano para resolver (sem começar a calcular ainda): para achar a menor distância do ponto
à esfera vamos comparar a distância de
ao centro
com o raio
. Intuitivamente:
- Se
(ponto fora ou sobre a esfera), a menor distância da superfície é . - Se
(ponto dentro da esfera), a menor distância é .
Vou demonstrar e justificar isso de forma rigorosa usando vetores e produto escalar, mostrando também por que a direção radial (linha que liga
a
) é a que dá a menor distância.
Passo 3
Calcular a distância do ponto
ao centro
. A distância
é a norma do vetor
, que se calcula somando os quadrados das coordenadas e tirando raiz quadrada:
Portanto
.
Passo 4
Comparar
com o raio
. Como
e
, concluímos que
está dentro da esfera (ou seja,
). Assim esperamos que a menor distância seja
. Agora vamos provar isso de maneira geral (e calcular exatamente).
Passo 5
Prova detalhada (minimização usando produto escalar).
Seja
um ponto qualquer da esfera, isto é,
. A distância ao quadrado de
até
é
Aqui
é a norma (distância ao centro),
é
que já calculei, e
é o produto escalar entre os vetores
e
.
Como
e
, temos
Para minimizar
em relação a
na esfera precisamos maximizar
sujeito a
.
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz vale
e a igualdade ocorre quando
é paralelo a
e tem mesma direção — isto é, quando
está na linha que sai do centro
em direção a
. Portanto o máximo possível de
é
.
Substituindo esse máximo em
obtemos o mínimo:
Logo a menor distância é
Passo 6
Simplificar a expressão
. Observando que
temos que
Isto coincide com a razão geométrica esperada: como
está dentro da esfera, a menor distância da superfície é
.
Se quiser uma aproximação numérica,
, então
Passo 7
Interpretação geométrica rápida (para fixar a ideia): a menor distância do ponto
à esfera ocorre seguindo a linha reta do ponto até o centro
— é o ponto da esfera que fica sobre o mesmo raio que passa por
. Se o ponto estiver dentro, a distância é a diferença entre o raio e a distância ao centro; se estiver fora, é a diferença entre a distância ao centro e o raio. Aqui
está dentro, então a diferença é
. Vai dar tudo certo na prova — anota essa técnica: calcular
e comparar com o raio!