Exercício 3.23 Dada a função posição \mathrm{s}(\mathrm{t}) de um móvel em relação ao tempo, define-se a sua velocidade escalar instantânea e a sua aceleração escalar instantânea no instante t como sendo v(\mathrm{t})=\mathrm{s}^{\'}(\mathrm{t}) e \mathrm{a}(\mathrm{t})=v^{\'}(\mathrm{t}), respectivamente. Obtenha estas funções nos casos abaixo:
\mathrm{s}(\mathrm{t})=2+3 \mathrm{t}-5 \mathrm{t}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a posição
\mathrm{s}(t)=2+3t-5t^{2}
e define \mathrm{v}(t)=\mathrm{s}'(t)
e \mathrm{a}(t)=\mathrm{v}'(t).
Para resolver vamos usar as regras de derivação: a derivada de uma constante é zero, de t^{n} é n\,t^{n-1} e a derivada é linear (derivamos termo a termo).

Passo 2

Vamos calcular a velocidade escalar instantânea
\frac{d}{dt}(2)=0
\frac{d}{dt}(3t)=3
\frac{d}{dt}(-5t^{2})=-10t
Somando esses resultados:
\mathrm{v}(t)=\mathrm{s}'(t)=3-10t.

Passo 3

Agora calculamos a aceleração escalar instantânea derivando \mathrm{v}(t). Como \mathrm{v}(t) é uma função linear,
\frac{d}{dt}(3)=0
\frac{d}{dt}(-10t)=-10
Logo,
\mathrm{a}(t)=\mathrm{v}'(t)=-10.

Resposta

\displaystyle \mathrm{v}(t)=3-10t,\quad \mathrm{a}(t)=-10.

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