Exercício 3.23 Dada a função posição \mathrm{s}(\mathrm{t}) de um móvel em relação ao tempo, define-se a sua velocidade escalar instantânea e a sua aceleração escalar instantânea no instante t como sendo v(\mathrm{t})=\mathrm{s}^{\'}(\mathrm{t}) e \mathrm{a}(\mathrm{t})=v^{\'}(\mathrm{t}), respectivamente. Obtenha estas funções nos casos abaixo:
\mathrm{s}(\mathrm{t})=2 \cos (\mathrm{t}).

Passo 1

O enunciado dá a função posição
s(t) = 2\cos(t)
de um móvel e pede para encontrar a velocidade instantânea v(t) e a aceleração instantânea a(t), sabendo que
v(t)=s'(t)
e
a(t)=v'(t).
Para isso vamos usar a regra de derivação de funções trigonométricas:
\dfrac{d}{dt}[\cos(t)]=-\,\sin(t)
\dfrac{d}{dt}[\sin(t)]=\cos(t).

Passo 2

Calculando a velocidade v(t)=s'(t):
s(t)=2\cos(t) \quad\Longrightarrow\quad s'(t)=2\;\dfrac{d}{dt}[\cos(t)] =2\bigl(-\sin(t)\bigr) =-2\sin(t).
Logo,
v(t)=-2\sin(t).

Passo 3

Agora a aceleração a(t)=v'(t):
v(t)=-2\sin(t) \quad\Longrightarrow\quad v'(t)=-2\;\dfrac{d}{dt}[\sin(t)] =-2\cos(t).
Portanto,
a(t)=-2\cos(t).

Resposta

v(t)=-2\sin(t) a(t)=-2\cos(t)

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